Oi, Alonso,
Não sou o Nicolau, mas vou responder (qq coisa ele me corrigirá)...
O Nicolau já nos brindou há algum tempo com uma solução
muito bonita e seguindo esta mesma linha de raciocícinio (usando
matrizes) para resolver recorrências.
(veja no final de
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200706/msg00204.html).
Quanto a sua pergunta, as "equações de diferenças"
podem ser usadas mas acho "bala de canhão" para este particular
exercício. Se você tiver alguma familiaridade
com Frações Contínuas... Veja:
A recorrência dada indica que x_n = 4 -
3 / (4 - 3 / (4 - 3/ .....)) ,
que é uma fração contínua onde se você
escrever x_n = p_n/q_n (que é usual no estudo das frações
contínuas e foi um dos truques usados pelo Nicolau), você
obtém:
p_n+1 = 4.p_n - 3.q_n (1) e
q_n+1 = p_n
(2)
Ai fica fácil (neste exercício, especialmente) resolver
estas recorrências, mas não a original, que é feiosa.
"Olhando" para x_n como p_n/q_n se eliminou a "deconfortável" parcela
1/x_n da recorrência original. Ou seja, as recorrências
para p_n e q_n são banais.
Se você substituir (2) em (1) o problema acabou... Você
obtém p_n+1 = 4.p_n - 3.p_n-1, cuja solução
é simples, e cujo polinômio característico coincide
com o usado pelo Nicolau, embora com o "olhar" dele nas matrizes...
O legal mesmo da solução do Nicolau (no meu entendimento
- se eu estiver equivocado ele me corrigirá...) é ter este
outro "olhar" do polinômio característico para os zilhões
de exercícios que usam recorrência.
Se quiser dê uma olhada em www.obm.org.br/eureka/artigos/recorrencia.doc
você verá dezenas de relações de recorrências
e seus truques... (mas sem o fecho do problema com matrizes).
Abraços,
Nehab
Olá
Nicolau.
"Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q]."
Bastante criativa sua solução de associar o vertor (p,q)
ao racional p/q. Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
usando conceitos de equações de diferenças?
Aparentemente
daria para fazer uma analogia da equação de diferenças
x_n * x_{n+1} = 4 x_n - 3
com x_n diferente de zero, com uma equação diferencial
do tipo
y y' = 4 y - 3 .
"Nicolau C. Saldanha" wrote:
On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300,
hpsb@xxxxxxxxxxxxxx
wrote:
> Achei esse problema em um livro de Análise e estou tendo dificuldades
em
> resolvê-lo. É possível achar o termo geral em
função de a_1 e n?
>
>
>
> Seja (x_n) uma seqüência definida indutivamente por x_1
> 3 e
> x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural.
[Omitindo o resto do enunciado]
Não é necessário achar o termo geral para resolver
o problema
mas como você pediu o termo geral aqui vai.
Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
Assim devemos calcular A^n.
Os autovalores de A são 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
= (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
Assim
x_n = ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================