"Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q]."
Bastante criativa sua solução de associar o vertor (p,q)
ao racional p/q. Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
usando conceitos de equações de diferenças?
Aparentemente
daria para fazer uma analogia da equação de diferenças
x_n * x_{n+1} = 4 x_n - 3
com x_n diferente de zero, com uma equação diferencial do tipo
y y' = 4 y - 3 .
"Nicolau C. Saldanha" wrote:
On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300, hpsb@xxxxxxxxxxxxxx wrote:
> Achei esse problema em um livro de Análise e estou tendo dificuldades em
> resolvê-lo. É possível achar o termo geral em função de a_1 e n?
>
>
>
> Seja (x_n) uma seqüência definida indutivamente por x_1 > 3 e
> x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural.[Omitindo o resto do enunciado]
Não é necessário achar o termo geral para resolver o problema
mas como você pediu o termo geral aqui vai.Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
Assim devemos calcular A^n.
Os autovalores de A são 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
= (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
Assim
x_n = ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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