Re: [obm-l] Geometria Plana

["Palmerim Soares" <palmerimsoares@xxxxxxxxx>]

 

Ola Rita,

Vamos por partes,

1) Se a,b,c são lados de um triangulo, rpove que | b-c| < a.

 Essa demosntracao eu deixarei para outro colega, pois esgotou o meu tempo agora, ou entao a faco mais tarde, ok?. Mas guarde que " A soma de dois lados do triângulo é sempre maior do que o terceiro lado, e a diferença (positiva) é sempre menor." (Desigualdade triangular)

 

2) seja ABC um triângulo qualquer. Mostre que os vértices B e C  são pontos eqüidistantes da reta contendo a mediana que parte do vértice A.

 

Sejam:

- M o ponto medio do lado BC;

- r a reta contendo a mediana que parte do vértice A;

- D o ponto de intersecao da perpendicular a reta r passando pelo ponto C;

- E o ponto de intersecao da perpendicular a reta r passando pelo ponto B;

 

Note agora que os triangulos BEM e CDM sao congruentes pelo caso:

Lado/Angulo_adjacente/Angulo_oposto (BM=MC; Angulo_BME = Angulo_DMC; Angulo_BEM = Angulo_CDM=90º). Portanto segmento CD tem a mesma medida de BE.

 

3) Mostre que as diagonais de um losango cortam-se em angulo reto e são bissetrizes dos seus angulos.

 Seja ABCD o losango. Como os lados de um losango sao congruentes, a diagonal BD deste losango pode ser considerada a base do triangulo isosceles ABD. A outra diagonal AC corta a primeira (BD) no ponto M que é o ponto medio de ambas as diagonais (as diagonais de qualquer paralelogramo interseptam-se mutuamente no seu ponto medio, o que pode ser demonstrado por congruencia de triangulos). Entao AM eh a mediana relativa a base do triangulo isosceles ABD. Note agora que os triangulos ABM e ADM sao congruentes pelo caso LLL. Assim, o angulo BMA e DMA sao congruentes e medem a 90º (ja que a soma deles eh 180º - sao angulos adjacentes suplementares). Alem disso, AM tambem eh a  bissetriz interna do angulo do vertice A do triangulo ABD, ja que pela congruencia, os angulos MAB e MAD tem a mesma medida. Use o mesmo raciocinio em relacao aos triangulos isosceles ABC, BCD e CDA para concluir que as diagonais sao as bissetrizes dos angulos internos do losango.

 

4) Considere duas circunferências tangentes internamente em A e tais que a menor passa pelo centro da maior. Mostre que qualquer corda da circunferência maior, com uma das extremidades em A, é bisseccionada  pela circunferência menor.

 

1º caso) A corda eh  diametro da circunferencia maior:

             Como o raio da circunferencia maior tem a mesma medida da diagonal da circunferencia menor, o diametro da circunferencia maior que passa por A eh bisseccionado pela circunferencia menor;

 

2º caso) A corda nao eh um diametro da circunferencia maior:

 

Sejam

- O o centro da circunferencia maior;

- B um ponto da circunferencia maior;

- C a intercecao da corda AB com a circunferencia menor;

Note que o triangulo ACO sera sempre retangulo em C, pois esta inscrito numa semi-circunferencia. Assim, o segmento OC eh a altura relativa a base do triangulo isosceles OAB e se eh altura eh tambem mediana, dividindo portanto o segmento AB (ou a corda AB) em duas partes congruentes.

Um abraco,

Palmerim