Re: [obm-l] número irracional

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Aug 11, 2007 at 06:19:00PM +0300, Francisco wrote:
> Como mostro que 3^(3^(1/2)) é um número irracional?

Sabemos que 3^(1/2) é algébrico e irracional.
Devemos agora usar o teorema abaixo:

Teorema de Gelfond-Schneider:
Se a e b são algébricos, a diferente de 0 e 1, b irracional
então a^b não é algébrico.

Tomando a = 3 e b = 3^(1/2) temos que 3^(3^(1/2)) não é algébrico
e em particular é irracional.

O teorema acima é bem difícil e está demonstrado no
livro "Irrational Numbers" de Ivan Niven (publicado pela MAA).

Aliás, um número real ou complexo z é algébrico se existir um polinômio
não identicamente nulo p de coeficientes racionais tal que p(z) = 0.

Se você estiver perguntando se existe uma demonstração *fácil*
de que 3^(3^(1/2)) é irracional eu não sei. Meu palpite é que não
e se alguém tiver uma demonstração fácil eu teria curiosidade de ver.

N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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