Olá Bruno:
Eu acredito que não, mas na verdade não tentei provar.
Ha muito tempo tentei entender o porque do nome "sigma-algebra", mas até hoje
não conversei com nenhum especialista a respeito, o qual poderia confirmar minhas suspeitas.
Aparentemente este nome está relacionado com a operação de "shift" usada em teoria
de sistemas dinâmicos, cujo simbolo é sigma. Considere o seguinte sistema dinâmico que
pega um número entre 0 e 1, multiplica por dez, extrai a parte inteira e subtrai o extraído
do resultado:
(10 * (0.3333333)) = 3
(10 * (0.3333333)) = 3
(10 * (0.3333333)) = 3
...
veja que multiplicar por dez e extrair a parte inteira é como deslocar para direita. O número
0.3333333 é um ponto fixo deste sistema. Se o número fosse: 0.34343434 ... teríamos algo
do tipo:
10* (0.34343434) = 3
10 * (0.43434343) = 4
10* (0.34343434) = 3
10 * (0.43434343) = 4
teríamos uma órbita de período 2. Mas se o número fosse irracional, a órbita não seria
periódica. Amanhã escrevo mais a respeito desta operação de shift. Mas a grosso modo,
muitas vezes queremos checar a probabilidade do conjunto de pontos resultantes dentro
de um intervalo quando
aplicamos o shift infinitas vezes em um número neste intervalo.
Em sistemas estocásticos comuns, para que
esta probabilidade seja não zero, o conjunto tem que ser não enumerável e
ter medida diferente zero.
Claro que o conceito de enumerável não tem nada a ver com o
conceito de conjunto denso nem com conjunto de medida zero. Assim não sei se
há exemplos concretos do tipo que vc está procurando.
Acho que especialistas em
teoria da medida podem falar melhor a respeito disso.
[]s
On 2/22/07, Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com
> wrote:
Olá, pessoal. Estou com um problema que não consigo resolver, e achei interessante. Ei-lo:
Existe alguma sigma-álgebra infinita enumerável?
Para quem não sober o que é e quiser pensar, aqui vai a definição de sigma-álgebra:
Uma sigma-álgebra M em um conjunto X é um conjunto M contido em (ou igual a) P(X) (onde P(X) é o conjunto das partes de X) que obedece às seguintes propriedades:
(i) X pertence a M
(ii) E pertence a M ==> X - E pertence a M
(iii) Dados (A_i)_(i em N) em M, isto é, uma seqüência de elementos de M, temos que o conjunto U Ai pertence a M (isto é: a reunião de uma quantidade enumerável de elementos de M também pertence a M)
Abraço!
Bruno
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Bruno França dos Reis
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Ronaldo Luiz Alonso
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