Ol� Bruno:
Eu acredito que n�o, mas na verdade n�o tentei provar.
Ha muito tempo tentei entender o porque do nome "sigma-algebra", mas at� hoje
n�o conversei com nenhum especialista a respeito, o qual poderia confirmar minhas suspeitas.
Aparentemente este nome est� relacionado com a opera��o de "shift" usada em teoria
de sistemas din�micos, cujo simbolo � sigma. Considere o seguinte sistema din�mico que
pega um n�mero entre 0 e 1, multiplica por dez, extrai a parte inteira e subtrai o extra�do
do resultado:
(10 * (0.3333333)) = 3
(10 * (0.3333333)) = 3
(10 * (0.3333333)) = 3
...
veja que multiplicar por dez e extrair a parte inteira � como deslocar para direita. O n�mero
0.3333333 � um ponto fixo deste sistema. Se o n�mero fosse: 0.34343434 ... ter�amos algo
do tipo:
10* (0.34343434) = 3
10 * (0.43434343) = 4
10* (0.34343434) = 3
10 * (0.43434343) = 4
ter�amos uma �rbita de per�odo 2. Mas se o n�mero fosse irracional, a �rbita n�o seria
peri�dica. Amanh� escrevo mais a respeito desta opera��o de shift. Mas a grosso modo,
muitas vezes queremos checar a probabilidade do conjunto de pontos resultantes dentro
de um intervalo quando
aplicamos o shift infinitas vezes em um n�mero neste intervalo.
Em sistemas estoc�sticos comuns, para que
esta probabilidade seja n�o zero, o conjunto tem que ser n�o enumer�vel e
ter medida diferente zero.
Claro que o conceito de enumer�vel n�o tem nada a ver com o
conceito de conjunto denso nem com conjunto de medida zero. Assim n�o sei se
h� exemplos concretos do tipo que vc est� procurando.
Acho que especialistas em
teoria da medida podem falar melhor a respeito disso.
[]s
On 2/22/07, Bruno Fran�a dos Reis <bfreis@gmail.com
> wrote:
Ol�, pessoal. Estou com um problema que n�o consigo resolver, e achei interessante. Ei-lo:
Existe alguma sigma-�lgebra infinita enumer�vel?
Para quem n�o sober o que � e quiser pensar, aqui vai a defini��o de sigma-�lgebra:
Uma sigma-�lgebra M em um conjunto X � um conjunto M contido em (ou igual a) P(X) (onde P(X) � o conjunto das partes de X) que obedece �s seguintes propriedades:
(i) X pertence a M
(ii) E pertence a M ==> X - E pertence a M
(iii) Dados (A_i)_(i em N) em M, isto �, uma seq��ncia de elementos de M, temos que o conjunto U Ai pertence a M (isto �: a reuni�o de uma quantidade enumer�vel de elementos de M tamb�m pertence a M)
Abra�o!
Bruno
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Bruno Fran�a dos Reis
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Ronaldo Luiz Alonso
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