Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Feb 14, 2007 at 11:46:31AM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
> Aproveitando o tópico: se eu quiser distribuir n pontos ao longo de uma 
> circunferência, de tal modo que a menor distância entre dois pontos seja 
> máxima, eu vou distribuir os pontos de maneira uniforme, particionando a 
> circunferência em n arcos de comprimento igual. Nesse caso, a posição 
> dos pontos pode ser dada por exp(2*pi*i*x/n) pra x=0,n-1.
> 
> A minha dúvida é: existe resultado análogo pra n pontos em uma 
> superfície esférica? Eu tenho como definir algum tipo de "tritenion" pra 
> resolver o problema por esse caminho, assim como eu uso complexos na 
> circunferência?

Isto que você pergunta é um problema difícil e muito estudado.
Veja a seção 2.3 do capítulo 1 de Sphere Packings, Lattices and Groups
de J. H. Conway e N. J. A. Sloane. Eles definem A(n,phi) como sendo
o maior número possível de pontos que podem ser acomodados na esfera
S^{n-1} contida no espaço euclidiano de n dimensões R^n tais que o
ângulo entre pontos distintos seja sempre maior ou igual a phi.
Como você observou, o problema de calcular A(n,phi) é fácil para n = 2.
Ele é difícil para qualquer outro valor de n, inclusive n = 3
e n = 4 (apesar de existirem os quatérnios). Até a demonstração de
que N(3,pi/3) = 12 (isto é, que não é possível fazer 13 esferas
tangenciarem uma esfera central de mesmo raio) é difícil:
Newton considerou o problema mas a primeira demonstração é do século XIX.

A melhor maneira de acomodar 6 ou 12 pontos é nos vértices de um octaedro
ou icosaedro regular. Para acomodar 8 pontos você não deve usar os vértices
de um cubo: um antiprisma de base quadrada é melhor. E para acomodar
20 pontos os vértices de um dodecaedro também não são a melhor opção
(a resposta certa é bem menos simétrica).

[]s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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