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Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao



Oi Claudio,

Espero que este email nao seja considerado muito off-topic pelos 
colegas, pois que é mais sobre Educação em Matemática (que é minha 
praia mais amada)  do que sobre problemas em Matemática (que hoje é 
apenas um passatempo delicioso para mim - mas um passatempo - me 
encanto aprendendo com vocês).

Muito úteis as informações complementares inclusive a piadinha da 
"pressão... (e cá para nós, em matéria de ego o Fermat e o 
Napoleao... uhmmm não sei quem era mais doente, não)...

Mas a principal razão de eu ter comentado que uso a tal propriedade 
dos complexos para matar  problemas em geometria vem de uma 
preocupação anterior que não explicitei (só pensei) no email anterior  :-)

Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em "enxergar" 
geometria (uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade 
inacreditável até para desenhar um cubo em perspectiva).    Talvez a 
razão se origine lá atrás, quando disciplinas como Desenho 
Geométrico, Geometria Descritiva e Perspectiva faziam parte do 
currículo normal e deixaram de sê-lo.   A cegueira geométrica 
aumentou consideravelmente de lá para cá.

Assim rotações, translações, homotetias, simetrias, inversões e um 
pouco de homologia eram técnicas usadas para "matar" geometricamente 
inúmeros problemas e desenvolver nossa capacidade de 
"ver"  geometricamente.   Hoje, embora haja inúmeros textos bem 
escritos sobre todos estes assuntos, a maioria não possui o desejado 
viés puramente geométrico.

Naturalmente, como você comentou, há a informação abundante 
disponível na Internet (aliás sou frequentador assíduo dos sites que 
você mencionou: são MUITO bons  (  www.cut-the-knot.org 
e  www.nrich.maths.org  ) mas o trabalho escolar sobre os temas 
praticamente desapareceu.

Hoje, não há cursos de construções geométricas na escola 
formal.  Depois neguinho estranha a atrofia reinante no lado direito 
do cérebro da galera - o que não se usa atrofia, né - e os neurônios 
não usados vão pro beleléu :-).

É isto: tão faltando por ai uma boa dúzia de clones do prof Wagner 
(um craque) ...

Abraços,
Nehab


At 11:16 14/2/2007, you wrote:
>---------- Cabeçalho original -----------
>
>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Cópia:
>Data: Tue, 13 Feb 2007 20:24:07 -0200
>Assunto: Re: [obm-l] Problemas em aberto
>
> > Oi, Claudio,
> >
> > O problema de complexos que você mencionou é uma ferramenta
> > extremamente útil que já usei para demonstrar inúmeros problemas de
> > geometria, como por exemplo o famoso teorema atribuido ao
> > Napoleão  (o Bonaparte, mesmo, acredite se quiser... :-)), que eu
> > acho surpreendente:
> >
>Tem um artigo legal na Eureka sobre aplicaoes de complexos em 
>geometria. Estah aqui:
>http://www.obm.org.br/eureka/artigos/aplicacoes.pdf
>
>E aqui estah outro: http://www.majorando.com/arquivos/geomcomplexasemolimp.pdf
>
> > "Sobre os lados de um triângulo arbitrário construa três triângulos
> > equiláteros exteriores ao mesmo.  Mostre que os centros destes 3
> > triângulos equiláteros determinam um novo triângulo equilátero".
> >
>Ha controversias sobre a autoria desse teorema. Parece que Napoleao 
>realmente gostava de matematica, e que pode ateh ter
>descoberto (ou re-descoberto) este teorema empiricamente, mas eh 
>menos provavel que tenha descoberto uma demonstracao
>original. No entanto, sabe-se que Napoleao era amigo de Fourier, 
>Laplace, Monge e outros craques. Pode ser que, numa dada
>noite, eles tenham se encontrado pra tomar umas e outras. Dai, podem 
>ter comecado a falar de matematica, o problema
>apareceu e foi resolvido (pelo Monge, por exemplo, que nao era muito 
>ruim de geometria). No dia seguinte, ninguem se lembrava
>bem quem fez o que e o Napoleao, que certamente tinha um ego 
>inversamente proporcional a sua estatura, decidiu se apoderar
>do credito...
>
> > O teorema do Napoleão também é relacionado a outro problema
> > (atribuído a Pascal) igualmente interessante:  "Dado um triângulo
> > qualquer, determine o ponto de seu plano cuja soma das distâncias aos
> > vértices é mínima".
> >
>Eu li que este problema foi proposto por Fermat a Evangelista 
>Torricelli. Alias, eh muito natural confundir o Torricelli com o
>Pascal, especialmente quando se estah sob pressao (jah pedindo 
>desculpas pela piadinha infame...).
>O tal ponto eh normalmente chamado "ponto de Fermat" do triangulo.
>Se um dos angulos do triangulo for >= 120 graus, entao o ponto eh o 
>vertice correspondente.
>Algumas demonstracoes esao aqui: 
>http://www.cut-the-knot.org/Generalization/fermat_point.shtml
>
>Esse problema tem uma interpretacao fisica interessante, em termos 
>de equilibrio estatico.
>Veja aqui: 
>http://www.nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=495&part=solution&refpage=viewer.php
>
>A relacao entre os teoremas de Napoleao e Pascal-Fermat-Torricelli 
>eh descrita aqui:
>http://www.math.washington.edu/~king/coursedir/m444a03/notes/12-05-Napoleon-Fermat.html
>
>Que maravilha essa internet, hem?... Imagina o trabalho que alguem 
>teria pra achar estas referencias ha 20 anos atras...
>
>[]s,
>Claudio.
>
> > Os aficcionados em Geometria que se regozigem...  São bonitos, assim,
> > como as soluções.
> >
> > Quanto ao somatório (com expoentes sendo os números triangulares) tô
> > pensando...
> >
> > Abraços,
> > Nehab
> >
> > At 13:50 13/2/2007, you wrote:
> >
> >
> > >On 2/13/07, claudio.buffara
> > ><<mailto:claudio.buffara@terra.com.br>claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
> > >Antes de postar um problema bonitinho sobre complexos, quero lembrar
> > >que ainda temos (pelo menos) dois problemas em aberto
> > >na lista, um do PSRita e o outro do ACSteiner:
> > >
> > >1. Calcule o valor de SOMA(n=1...+inf) q^(n(n-1)/2), onde |q| < 1.
> > >
> > >Consultei meus alfarrabios e descobri que esta soma eh igual a um
> > >certo produto infinito, mas nao achei nenhuma formula
> > >fechada e suspeito que nenhuma exista, a menos que envolva alguma
> > >funcao nao elementar - alias, como a serie acima
> > >converge, ela pode ser usada pra definir uma funcao de (-1,1) -> R.
> > >
> > >
> > >     Se  o termo n(n-1)/2 fosse n(n+1)/2 ele seria a soma de uma
> > > P.A. com os n primeiros naturais.
> > >  Não parei ainda para pensar com calma, mas será que esse problema
> > > não está relacionado com partições de inteiros e
> > >a função de Euler?
> > >
> > ><http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition>http://en.wikiped 
> ia.org/wiki/Integer_partition
> > >
> > >   Note que o termo de x^n que é p(n) conta o número de vezes em que
> > > é possível escrever n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... onde cada a_i
> > >aparece i vezes.
> > >    Bem, alguém já deve ter pensado nisso, então o que eu falei não
> > > ajuda muito ... :)
> > >
> > >[]s
> > >Ronaldo
> > >
> > >
> > >
> >
> >
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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