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Re: [obm-l] Problemas em aberto
Oi claudio,
Leia com atencao. Eu disse que NO CASO DA SERIE GEOMETRICA . Alem
disso, voce ja sabe a forma definitiva do polinomio TRABALHAVEL ou
SOMAVEL ? E aqui que esta a graca do problema ...
Se nos ficarmos discutindo detalhes nao chegaremos a lugar algum. O
que e importante e o total sentido da questao e que ha uma resposta
definitiva em formula fechada. Se voce quer trabalhar nisso pense
assim :
Dado S = 1 + q + ... + q^[N(N+1)/2] + ... . Exprima esta soma em funca de "q"
SUGESTAO 1 : usando o exemplo da serie geometrica, multiplique S por
um expressao
conveniente de forma que o resultado seja mais facilmente trabalhavel
SUGESTAO 2 : IMAGINE que os termos de S foram retirado de uma PG infinita
T = 1 + q + q^2 + q^3 + ... O que sobra em T sao PG's facilmente
somaveis. Isso permite obter uma formula de recorrencia para Sn.
Trabalhe nesta formula
Este resultado e uma generalizacao do conceito de Progressao
Geometrica. Eu chamava de PROGRESSAO GEOMETRICA DE 2 ORDEM, quando era
crianca. Eis aqui o problema para a terceira ordem :
Seja reais positivos A1, A2, ..., An, ... tal que An+1 / An =
q^[N(N-1)/2]. Onde 0 < q <1. Exprima em funcao 'q" a soma infinita A1
+ A2 + A3 + ...+ An + ...
De maneira geral, se 0<q<1, a serie S = q^A1 + q^A2 + q^A3 + ... +
q^An + ... e uma PROGRESSAO GEOMETRICA INFINITA DE ORDEM R SE A
SEQUENCIA A1, A2, ... e uma progressao aritmetica de ordem R. Estas
designacoes de PG's de ordem superior eu criei para o meu uso
particular, quando ainda era crianca, e muito provavelmente nao sao
usadas por nenhum outro Matematico. Foi apenas uma brincadeira infantil.
Seja S = S = q^A1 + q^A2 + q^A3 + ... + q^An + ... uma PROGRESSAO
GEOMETRICA INFINITA DE ORDEM R. Exprima, em funcao de "q" e de A1, A2,
... o valor para onde S converge ( 0 < q < 1)
Um Abracao
Paulo Santa Rita
4,0C56,140207
Em 14/02/07, claudio.buffara<claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:
> Oi, Paulo:
>
> Se existir um tal polinomio p(q), entao eh facil ver que os coeficientes serao inteiros (eh soh montar a recorrencia).
>
> No entanto, nao pode existir um tal polinomio pois, se tivermos:
> p(q) * SOMA(k>=1) q^(k(k-1)/2) = SOMA(n>=0) q^n = 1/(1-q), se |q| < 1.
> entao, com q = 1/2, teriamos:
> SOMA(k>=1) (1/2^(k(k-1)/2)) = 2/p(1/2) ==>
>
> Mas, pelo teorema das raizes racionais, p(1/2) <> 0 e, alem disso, eh claramente racional.
> Logo, 2/p(1/2) eh racional.
> No entanto, SOMA(k>=1) (1/2^(k(k-1)/2)) eh irracional (basta ver que, em base 2, esta soma eh uma decimal infinita e nao
> periodica) ==> contradicao ==> nao existe p(q).
>
> []s,
> Claudio.
>
> ---------- Cabeçalho original -----------
>
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data: Tue, 13 Feb 2007 17:58:20 +0000
> Assunto: RE: [obm-l] Problemas em aberto
>
> >
> > Ola Ronaldo e demais colegas
> > desta lista ... OBM-L,
> >
> > Parabens, a sua intuicao e muito boa. Eu acho que se voce parar para pensar com mais calma, sem pressupostos, vai
> resolver...
> > Talvez falte voce observar o seguinte :
> >
> > Na serie geometrica bem conhecida Sn = 1 + q + q^2 + ... + q^(N-1), 0 < q < 1, como calculamos o LIM Sn quando N
> vai para
> > o infinito ? Em geral, fixamos N e multiplicamos Sn por UM POLINOMIO p(q) EM "q", CONVENIENTE, tal que
> >
> > p(q)*Sn = ALGO SOMAVEL OU MAIS SIMPLES.
> >
> > no caso particular da serie geomentrica temos que p(q) = q - 1 pois (q - 1)*Sn =q^N - 1. A seguir, dado que q^N -> 0
> quando N
> > vai para o infinito seque que Sn = 1/(1-q). Note que aqui p(q)*sn= ALGO MAIS SIMPLES. Poderia ser tambem algo somavel ou
> computavel ...
> >
> > Seja agora Sn = 1 + q + q^3 + ... + q^[(N(N-1))/2]. Quem e p(q) tal que
> >
> > p(q)*Sn = ALGO SOMAVEL OU MAIS SIMPLES ?
> >
> > Eis uma questao na qual um software como o MAXIMA ou OCTAVE facilita muito as coisas, pois nos permite fazer experiencias
> com as
> > diversas possibilidades do polinomio p(q) que precisamos descobrir.
> >
> > E com os melhores votos
> > de paz profunda, sou
> > Paulo Santa Rita
> > 3,0F38,130207
> >
> > ________________________________
> > > Date: Tue, 13 Feb 2007 12:50:30 -0300
> > > From: ronaldo.luiz.alonso@gmail.com
> > > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > Subject: Re: [obm-l] Problemas em aberto
> > >
> > > Se o termo n(n-1)/2 fosse n(n+1)/2 ele seria a soma de uma P.A. com os n primeiros naturais.
> > > Não parei ainda para pensar com calma, mas será que esse problema não está relacionado com partições de inteiros e
> > > a função de Euler ?
> > > http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition
> > > Note que o termo de x^n que é p(n) conta o número de vezes em que é possível escrever n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... onde
> cada a_i
> > > aparece i vezes.
> > > Bem, alguém já deve ter pensado nisso, então o que eu falei não ajuda muito ... :)
> > > []s
> > > Ronaldo
> >
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