RE: [obm-l] Problemas em aberto

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Paulo:

Se existir um tal polinomio p(q), entao eh facil ver que os coeficientes serao inteiros (eh soh montar a recorrencia).

No entanto, nao pode existir um tal polinomio pois, se tivermos:
p(q) * SOMA(k>=1) q^(k(k-1)/2) = SOMA(n>=0) q^n = 1/(1-q), se |q| < 1.
entao, com q = 1/2, teriamos:
SOMA(k>=1) (1/2^(k(k-1)/2)) = 2/p(1/2) ==>

Mas, pelo teorema das raizes racionais, p(1/2) <> 0 e, alem disso, eh claramente racional.
Logo, 2/p(1/2) eh racional.
No entanto, SOMA(k>=1) (1/2^(k(k-1)/2)) eh irracional (basta ver que, em base 2, esta soma eh uma decimal infinita e nao 
periodica) ==> contradicao ==> nao existe p(q).

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Tue, 13 Feb 2007 17:58:20 +0000
Assunto: RE: [obm-l] Problemas em aberto

> 
> Ola Ronaldo e demais colegas
> desta lista ... OBM-L,
> 
> Parabens, a sua intuicao e muito boa. Eu acho que se voce parar para pensar com mais calma, sem pressupostos, vai 
resolver...  
> Talvez falte voce observar o seguinte :
> 
> Na serie geometrica bem conhecida Sn = 1 + q +  q^2  +  ...  + q^(N-1),  0 < q < 1,  como calculamos o LIM Sn quando N 
vai para
> o infinito ? Em geral, fixamos N e multiplicamos Sn por UM POLINOMIO p(q) EM "q", CONVENIENTE, tal que
> 
> p(q)*Sn = ALGO SOMAVEL OU MAIS SIMPLES.
> 
> no caso particular da serie geomentrica temos que p(q) = q - 1 pois (q - 1)*Sn =q^N  - 1. A seguir, dado que q^N  -> 0 
quando N
> vai para o infinito seque que Sn = 1/(1-q). Note que aqui p(q)*sn= ALGO MAIS SIMPLES. Poderia ser tambem algo somavel ou 
computavel ... 
> 
> Seja agora Sn = 1 + q + q^3 + ... + q^[(N(N-1))/2]. Quem e p(q) tal que
> 
> p(q)*Sn = ALGO SOMAVEL OU MAIS SIMPLES ?
> 
> Eis  uma questao na qual um software como o MAXIMA ou OCTAVE facilita muito as coisas, pois nos permite fazer experiencias 
com as
> diversas possibilidades do polinomio p(q) que precisamos descobrir.
> 
> E com os melhores votos
> de paz profunda, sou
> Paulo Santa Rita
> 3,0F38,130207
> 
> ________________________________
> > Date: Tue, 13 Feb 2007 12:50:30 -0300
> > From: ronaldo.luiz.alonso@gmail.com
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Subject: Re: [obm-l] Problemas em aberto
> > 
> > Se  o termo n(n-1)/2 fosse n(n+1)/2 ele seria a soma de uma P.A. com os n primeiros naturais.
> > Não parei ainda para pensar com calma, mas será que esse problema não está relacionado com partições de inteiros e
> > a função de Euler ?
> > http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition
> > Note que o termo de x^n que é p(n) conta o número de vezes em que é possível escrever n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... onde 
cada a_i
> > aparece i vezes.
> > Bem, alguém já deve ter pensado nisso, então o que eu falei não ajuda muito ... :)
> > []s
> > Ronaldo
> 
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