Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 01, 2006 at 05:33:23PM -0200, Ronaldo Luiz Alonso wrote:
> 
> >Não entendi o seu argumento mas é certamente falso que diferenciabilidade
> >implique em Lipschitz local em uma vizinhança de um ponto de máximo.
> >  
>  Não em um ponto de máximo.
>    Eu disse que se a função
> é diferenciável em [a,b] ela é contínua em [a,b] então ela alcança um 
> valor máximo e um
> valor mínimo no intervalo [a,b].  Pelos cálculos apresentados é sempre 
> possível achar a constante
> de Lipschitz k em termos desses dois valores:
> 
> Seja max{f} o  maximo da função no intervalo I.  
>     Então:    |f(x) - f(a)|< max{f}
>   Deve existir k real tal que
>     max{f}  < k |x-a| para   todo x em I.
> 
>     Para ver isso seja x_inf o menor
> valor de x no intervalo I e x_sup o maior valor.
> 
> Então para qualquer x e qualquer a no intervalo I temos
> 
>          |x-a| < x_sup - x_inf.    (comprimento de I)
> 
>    Se fizermos k =  max{f}/(x_sup - x_inf) então :
> 
>       |f(x) - f(a)| < max{f} =   max{f}/(x_sup - x_inf) * (x_sup - x_inf)
>                     <= max{f}/(x_sup - x_inf) * |x-a|  <= k * |x-a|
> 
>    Bem, agora não sei onde os argumentos acima estão errados ...
> :)

Não entendi nada. Já a primeira desigualdade é falsa: se max(f) = 0
então não temos |f(x)-f(a)| < max(f), talvez você queira dizer
que |f(x)-f(a)| < max(f) - min(f). A segunda desigualdade também não
faz sentido: |x-a| assume o valor 0 para x=a e se max(f) for 1 (digamos)
não existirá nenhum k para o qual max(f) < k |x-a| para todo x em I.
Aliás não vejo onde você está usando a hipótese de f ser derivável
exceto para concluir que f é contínua. Ora, é bem sabido que existem
funções contínuas que não são Lipschitz em nenhum intervalo.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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