[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l]FunçãoLipschitzem um subintervalo

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Obrigado.
E agora sabemos que o intervalo em que f eh Lipschitz existe sob condicoes mais fracas do que as originalmente assumidas.

Artur

----- Original Message ----
From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, November 2, 2006 8:29:37 AM
Subject: Re: [obm-l] Re:[obm-l]FunçãoLipschitzem um subintervalo


On Wed, Nov 01, 2006 at 12:12:22PM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> Oi Nicolau
> 
> Conforme mostra seu exemplo, diferenciabilidade em I nao implica que f seja
> localmente Lipschitz em I. Mas, de fato, implica a existência de algum
> subintevalo I' de I na qual f seja Lipschitz. Para ver isto, a prova que me
> ocorreu baseia-se nos seguintes fatos conhecidos da Analise: 
> 
> (1) - Se f eh derivavel em I, entao  f eh Lipschitz em I se, e somente se, a
> sua derivada f' for limitada em I. Se M = supremo {|f'(x)| | x em I} entao M
> e anmenor constante de Lipschitz de f em I.
> 
> (2) - A derivada f' eh o limite de uma sequencia (g_n) de funcoes continuas
> em I.
> 
> (3) Se (g_n) eh uma sequencia de funcoes continuas definidas em um espaco de
> Baire B (logo em um espaco metrico completo), tem valores em R (ou mesmo nos
> complexos) e converge ponto a ponto (nao precisa ser uniformemente) para uma
> funcao g, entao existe um subconjunto A, aberto em B,  no qual a sequencia
> (g_n) eh uniformemente limitada por algum M>0. Isto implica imediatamente que
> g seja limitada em A  por M.
> 
> 
> Particularizando para o noso caso, temos que o intervalo I de R eh um espaco
> de Baire e que f' eh o limite de uma sequencia de funcoes (g_n), continuas em
> I e com valores em R. Segundo (3), segue-se que I contem um intervalo aberto
> I' no qual f' eh limitada por algum M>0. E agora, recorrendo-se a (1)
> concluimos que |f(u) - f(v)| <= M |u - v| para todos u e v de I', ficando
> assim provada a proposicao.
> 
> Alguns acham que eh uma prova tenebrosa e ateh estupida, mas acho que estah
> certo.

Acho que a sua demonstração está correta e não é "tenebrosa", o problema
é difícil mesmo. Acho que a minha demonstração também está correta
e é mais curta, mas a sua é muito mais informativa.

Repito a minha demonstraçao, explicando a parte final.
Não é preciso supor f derivável em todo ponto, basta supor
que as quatro derivadas de Dini sejam sempre finitas:
lim sup_{h -> 0, h > 0} (f(x+h)-f(x))/h,
lim inf_{h -> 0, h > 0} (f(x+h)-f(x))/h,
lim sup_{h -> 0, h < 0} (f(x+h)-f(x))/h,
lim inf_{h -> 0, h < 0} (f(x+h)-f(x))/h.

Suponha que f não seja Lipschitz em nenhum intervalo.
Tome a_0 < b_0, b_0 - a_0 < 2^0, tais que |f(b_0) - f(a_0)| > 2^0 (b_0 - a_0).
Como f não é Lipschitz em nenhum intervalo, tome a_0 < a_1 < b_1 < b_0,
b_1 - a_1 < 2^(-1), tais que |f(b_1) - f(a_1)| > 2^1 (b_1 - a_1)
e assim sucessivamente
a_0 < a_1 < a_2 < ... < a_n < ... < b_n < ... < b_2 < b_1 < b_0,
com |f(b_n) - f(a_n)| > 2^n (b_n - a_n), b_n - a_n < 2^(-n).
Tome x = lim a_n = lim b_n.

Como |(f(b_n)-f(a_n))/(b_n-a_n)| > 2^n
temos |(f(b_n) - f(x))/(b_n - x)| > 2^n ou |(f(a_n) - f(x))/(a_n - x)| > 2^n.
Assim existe um conjunto infinito de índices n para os quais vale
uma das quatro possibilidades abaixo:
(f(b_n) - f(x))/(b_n - x) > 2^n, 
(f(b_n) - f(x))/(b_n - x) < -2^n, 
(f(a_n) - f(x))/(a_n - x) > 2^n, 
(f(a_n) - f(x))/(a_n - x) < -2^n, 
e portanto uma das quatro derivadas de Dini é infinita em x.

[]s, N.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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