[obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e talvez seja mesmo):

Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R. Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.

Eu achei uma prova que a maioria das pesoas a quem mostrei julgou anti natural, complicada, contra-intuitiva, horrorosa. Mas foi a que encontrei. Interessante que até agora ninguém me apresentou uma  outra prova disto que estivesse correta. Vários mostraram as existência de um subintervalo I', centrado em um ponto a, e de uma constante k>0 tal que |f(x) - f(a)| <= k|x -a| para todo x de I'. Mas isto não é a condição de Lipschitz em I', pois vale só para a. Na realidade, isso é uma simples comsequencia da existencia da derivada de f em a.  E nao prova o que foi pedido,a pesar da insistência dos que desenvolveram esta pseudo prova. 
Outros provaram incluindo hipoteses adicionais nao citadas no enunciado

Eu gostaria que alguém aqui da lista apresentasse uma prova. Depois, se quiserem, eu mostro a minha que foi considerada "horrorosa" para a maioria dos que a viram.

Abraços
Artur
Eu achei uma prova rapida porque relacionei o teorema a outros fatos da matematica. 

Obrigado
Artur



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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