Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo

[Ronaldo Luiz Alonso <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxx>]

A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e talvez seja mesmo):

Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R. Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.

   Acho que vc pode tentar algo do tipo:

   Se f é diferenciável ela é contínua e 
então f atinge um valor máximo e mínimo no 
intervalo I e além disso  para todo delta > 0
   existe eps > 0 tal que |x-a| < delta 
    ==> |f(x) - f(a)| < eps para todo ponto a no intervalo I 
  sendo que essa é a famosa condição lim (x->a) f(x) = f(a).
    
  Sejam max{f} e min{f} os valores maximo e mínimo da função no
intervalo I. 
    Então:   min{f}<  |f(x) - f(a)|< max{f}  ==>
             0 <  |f(x) - f(a)| - min{f} < max{f}-min{f}  ==>
                  |f(x) - f(a)| < max{f}-2*min{f}

      Como isso vale para todo a no intervalo I então esse número é fixo
então deve ser possível "comprimir o intervalo"  I de forma que 
 max{f}-2*min{f} < k |x-a|  todo x em I.  Para ver isso seja x_inf o menor
valor de x no intervalo I e x_sup o maior valor. Então para qualquer x
e qualquer a no intervalo |x-a| < x_sup - x_inf.   
    Se fizermos k =  (max{f}-2*min{f})/(x_sup - x_inf) então

      
   |f(x) - f(a)| < max{f}-2*min{f} = 
                    (max{f}-2*min{f})/(x_sup - x_inf) *(x_sup - x_inf)
                      <= (max{f}-2*min{f})/(x_sup - x_inf) * |x-a| 
                     <= k * |x-a|

  Hmmm... será que eu demonstrei?  Basta tomar k = (max{f}-2*min{f}),
claro que os extremos não podem ser considerados e temos que considerar
um subintervalo de I.

Critiquem por favor ;)

Ronaldo.
             
      

                     


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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