Re: [obm-l] Fun��o Lipschitz em um subintervalo

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 01, 2006 at 07:33:36AM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> A demonstra��o do fato citado a seguir �, a primeira vista, muito simples (e
> talvez seja mesmo):
> 
> Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R.
> Existe, ent�o, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.

Eu n�o tenho certeza se este fato � verdadeiro mas se for acho
que a demonstra��o n�o deve ser t�o simples assim. 

Tome f(x) = x^2 cos(g(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0
onde g: R -> R � uma fun��o suave de crescimento r�pido.
Fora de x = 0, f � claramente suave. Em x = 0, f � deriv�vel.
Mas � f�cil ver que a derivada de f perto de 0 assume valores
arbitrariamente grandes. Assim, f n�o � Lipschitz em nenhum
subintervalo cujo fecho inclua 0.

Este exemplo n�o refuta o fato mas mostra que diferenciabilidade
nem sempre implica localmente Lipschitz.

A classe das fun��es diferenci�veis n�o �, ali�s, das mais bem comportadas.
Por isso as pessoas preferem estudar C^1 (derivada cont�nua)
ou H^1 (Sobolev, derivada em L^2), que s�o espa�os de Banach e Hilbert,
respectivamente, com normas bastante naturais. Nestes dois espa�os
o problema an�logo � f�cil.

[]s, N.

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