Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 01, 2006 at 07:33:36AM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e
> talvez seja mesmo):
> 
> Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R.
> Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.

Ok, é verdade sim, e bem mais fácil do que eu pensava.

Suponha por absurdo que f não seja Lipschitz em nenhum intervalo.
Tome a_0 < b_0, b_0 - a_0 < 2^0, tais que |f(b_0) - f(a_0)| > 2^0 (b_0 - a_0).
Como f não é Lipschitz em nenhum intervalo, tome a_0 < a_1 < b_1 < b_0,
b_1 - a_1 < 2^(-1), tais que |f(b_1) - f(a_1)| > 2^1 (b_1 - a_1)
e assim sucessivamente
a_0 < a_1 < a_2 < ... < a_n < ... < b_n < ... < b_2 < b_1 < b_0,
com |f(b_n) - f(a_n)| > 2^n (b_n - a_n), b_n - a_n < 2^(-n).
Tome x = lim a_n = lim b_n. É fácil provar que f não é derivável em x.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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