� a primeira vez que escrevo para a lista... espero n�o ter feito nenhuma besteira!
Considerando que, na mol�cula de metano, o carbono ocupa o centro de um tetraedro regular ABCD de lado L, podemos resolver o problema do seguinte modo:
Primeiro, dando nomes a alguns pontos:
-Ponto O: centro da circunfer�ncia que circunscreve o tetraedro (� onde est� posicionado o �tomo de carbono)
-Pontos ABC: v�rtices da base do tetraedro ABCD
-Ponto H: � o centro do tri�ngulo ABCAgora, podemos encontrar o �ngulo A�B do seguinte modo:
A partir da lei dos cossenos no tri�ngulo AHB:
AB� = AH� + BH� - 2*AH*BH*cos(120�)
Mas AH=BH e AB=L, logo:
L� = 2AH� + AH� -> AH = L/Raiz(3)A partir do tri�ngulo AHD:
Pelo teorema de Pit�goras,
AD� = AH� + DH� -> L� = L�/3 + DH� -> DH = L*Raiz(6)/3Agora trabalharemos com o tri�ngulo AOH:
Mais uma vez, pelo Teorema de Pit�goras:
AO� = AH� + OH�
Mas AO � o raio da circunfer�ncia circunscrita (chamaremos essa medida de R) e OH=(DH-DO)=(DH-R)
Temos, portanto:
R� = L�/3 + (L*Raiz(6)/3 - R)�
Isolando R, encontramos:
R=L*Raiz(6)/4Agora, para finalizar, aplicamos a lei dos cossenos no tri�ngulo AOB:
AB� = AO� + BO� -2*AO*BO*cos(A�B)
L� = 3*L�/4 - 3*L�/4*cos(A�B)
Isolando cos(A�B), encontramos:
cos(A�B) = -1/3Utilizando uma calculadora, encontramos que o valor aproximado de A�B � 109�28'16"
Espero ter ajudado!
Abra�os,
Marcelo A. Menegali
2006/9/11, J. Renan <jrenan@gmail.com>:Ol� Lucas!
O seu problema � interessante, mas lembre-se de que nem sempre liga��es com geometria tetra�drica medem 109� 28'. Existem desvios. O g�s metano, entretanto, n�o � uma dessas exce��es, sendo que nessa mol�cula o Carbono ocupa o centro do tetraedro e cada hidrog�nio um v�rtice.
Vamos pensar nesse caso. Seria �til ter a dist�ncia do �tomo de carbono at� cada �tomo de hidrog�nio. Com esses dados em m�os poder�amos montar um tri�ngulo is�sceles calcular o �ngulo da liga��o. Essa dist�ncia voc� consegue com a informa��o de que o carbono est� sobre a intersec��o de todas as alturas do tetraedro.
Ser� que isso ajuda Lucas?
Estou sem tempo para fazer a solu��o! Ainda essa semana tento escreve-la pra voc�!
Abra�os
J.Renan
Em 11/09/06, Lucas Z. Portela <lucaszanottp@uol.com.br > escreveu:Ol�,Meu professor de qu�mica passou para a turma esse desafio, e, como estudante do 2� ano EM, n�o tenho a m�nima no��o de matem�tica de 3� grau para resolver esse impasse.Ele pediu uma maneira de provar que o �ngulo entre os �tomos em uma liga��o com geometria tetra�drica mede 109� 28'.J� tentei de v�rias maneiras, pois n�o conhe�o f�rmula nem sistema que sirva para achar isso. Tentei construir o tetraedro em volta das liga��es e separei um dos tetraedros menores que se formaram. Estipulei que cada um dos lados do tetraedro maior (que s�o iguais) valem 1, mas n�o consegui uma maneir de calcular a medida dos menores, que acho que seriam �teis para fazer Pit�goras, talvez, e achar o angulo, mas me perdi nesse peda�o.Se algu�m puder me dar uma luz... Agrade�o desde j�.Abra�os,Lucas.