É a primeira vez que escrevo para a lista... espero não ter feito nenhuma besteira!
Considerando que, na molécula de metano, o carbono ocupa o centro de um tetraedro regular ABCD de lado L, podemos resolver o problema do seguinte modo:
Primeiro, dando nomes a alguns pontos:
-Ponto O: centro da circunferência que circunscreve o tetraedro (é onde está posicionado o átomo de carbono)
-Pontos ABC: vértices da base do tetraedro ABCD
-Ponto H: é o centro do triângulo ABC
Agora, podemos encontrar o ângulo AÔB do seguinte modo:
A partir da lei dos cossenos no triângulo AHB:
AB² = AH² + BH² - 2*AH*BH*cos(120°)
Mas AH=BH e AB=L, logo:
L² = 2AH² + AH² -> AH = L/Raiz(3)
A partir do triângulo AHD:
Pelo teorema de Pitágoras,
AD² = AH² + DH² -> L² = L²/3 + DH² -> DH = L*Raiz(6)/3
Agora trabalharemos com o triângulo AOH:
Mais uma vez, pelo Teorema de Pitágoras:
AO² = AH² + OH²
Mas AO é o raio da circunferência circunscrita (chamaremos essa medida de R) e OH=(DH-DO)=(DH-R)
Temos, portanto:
R² = L²/3 + (L*Raiz(6)/3 - R)²
Isolando R, encontramos:
R=L*Raiz(6)/4
Agora, para finalizar, aplicamos a lei dos cossenos no triângulo AOB:
AB² = AO² + BO² -2*AO*BO*cos(AÔB)
L² = 3*L²/4 - 3*L²/4*cos(AÔB)
Isolando cos(AÔB), encontramos:
cos(AÔB) = -1/3
Utilizando uma calculadora, encontramos que o valor aproximado de AÔB é 109°28'16"
Espero ter ajudado!
Abraços,
Marcelo A. Menegali
Olá Lucas!
O seu problema é interessante, mas lembre-se de que nem sempre ligações com geometria tetraédrica medem 109º 28'. Existem desvios. O gás metano, entretanto, não é uma dessas exceções, sendo que nessa molécula o Carbono ocupa o centro do tetraedro e cada hidrogênio um vértice.
Vamos pensar nesse caso. Seria útil ter a distância do átomo de carbono até cada átomo de hidrogênio. Com esses dados em mãos poderíamos montar um triângulo isósceles calcular o ângulo da ligação. Essa distância você consegue com a informação de que o carbono está sobre a intersecção de todas as alturas do tetraedro.
Será que isso ajuda Lucas?
Estou sem tempo para fazer a solução! Ainda essa semana tento escreve-la pra você!
Abraços
J.Renan
Em 11/09/06, Lucas Z. Portela <lucaszanottp@uol.com.br > escreveu:Olá,Meu professor de química passou para a turma esse desafio, e, como estudante do 2º ano EM, não tenho a mínima noção de matemática de 3º grau para resolver esse impasse.Ele pediu uma maneira de provar que o ângulo entre os átomos em uma ligação com geometria tetraédrica mede 109º 28'.Já tentei de várias maneiras, pois não conheço fórmula nem sistema que sirva para achar isso. Tentei construir o tetraedro em volta das ligações e separei um dos tetraedros menores que se formaram. Estipulei que cada um dos lados do tetraedro maior (que são iguais) valem 1, mas não consegui uma maneir de calcular a medida dos menores, que acho que seriam úteis para fazer Pitágoras, talvez, e achar o angulo, mas me perdi nesse pedaço.Se alguém puder me dar uma luz... Agradeço desde já.Abraços,Lucas.