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Re: [obm-l] Geometria tetraédrica.



É a primeira vez que escrevo para a lista... espero não ter feito nenhuma besteira!

Considerando que, na molécula de metano, o carbono ocupa o centro de um tetraedro regular ABCD de lado L, podemos resolver o problema do seguinte modo:

Primeiro, dando nomes a alguns pontos:
-Ponto O: centro da circunferência que circunscreve o tetraedro (é onde está posicionado o átomo de carbono)
-Pontos ABC: vértices da base do tetraedro ABCD
-Ponto H: é o centro do triângulo ABC

Agora, podemos encontrar o ângulo AÔB do seguinte modo:

A partir da lei dos cossenos no triângulo AHB:
AB² = AH² + BH² - 2*AH*BH*cos(120°)
Mas AH=BH e AB=L, logo:
L² = 2AH² + AH² -> AH = L/Raiz(3)

A partir do triângulo AHD:
Pelo teorema de Pitágoras,
AD² = AH² + DH² -> L² = L²/3 + DH² -> DH = L*Raiz(6)/3

Agora trabalharemos com o triângulo AOH:
Mais uma vez, pelo Teorema de Pitágoras:
AO² = AH² + OH²
Mas AO é o raio da circunferência circunscrita (chamaremos essa medida de R) e OH=(DH-DO)=(DH-R)
Temos, portanto:
R² = L²/3 + (L*Raiz(6)/3 - R)²
Isolando R, encontramos:
R=L*Raiz(6)/4

Agora, para finalizar, aplicamos a lei dos cossenos no triângulo AOB:
AB² = AO² + BO² -2*AO*BO*cos(AÔB)
L² = 3*L²/4 - 3*L²/4*cos(AÔB)
Isolando cos(AÔB), encontramos:
cos(AÔB) = -1/3

Utilizando uma calculadora, encontramos que o valor aproximado de AÔB é 109°28'16"

Espero ter ajudado!

Abraços,

Marcelo A. Menegali

2006/9/11, J. Renan <jrenan@gmail.com>:
Olá Lucas!

O seu problema é interessante, mas lembre-se de que nem sempre ligações com geometria tetraédrica medem 109º 28'. Existem desvios. O gás metano, entretanto, não é uma dessas exceções, sendo que nessa molécula o Carbono ocupa o centro do tetraedro e cada hidrogênio um vértice.

Vamos pensar nesse caso. Seria útil ter a distância do átomo de carbono até cada átomo de hidrogênio. Com esses dados em mãos poderíamos montar um triângulo isósceles calcular o ângulo da ligação. Essa distância você consegue com a informação de que o carbono está sobre a intersecção de todas as alturas do tetraedro.

Será que isso ajuda Lucas?

Estou sem tempo para fazer a solução! Ainda essa semana tento escreve-la pra você!



Abraços

J.Renan

Em 11/09/06, Lucas Z. Portela <lucaszanottp@uol.com.br > escreveu:
Olá,
 
Meu professor de química passou para a turma esse desafio, e, como estudante do 2º ano EM, não tenho a mínima noção de matemática de 3º grau para resolver esse impasse.
 
Ele pediu uma maneira de provar que o ângulo entre os átomos em uma ligação com geometria tetraédrica mede 109º 28'.
 
Já tentei de várias maneiras, pois não conheço fórmula nem sistema que sirva para achar isso. Tentei construir o tetraedro em volta das ligações e separei um dos tetraedros menores que se formaram. Estipulei que cada um dos lados do tetraedro maior (que são iguais) valem 1, mas não consegui uma maneir de calcular a medida dos menores, que acho que seriam úteis para fazer Pitágoras, talvez, e achar o angulo, mas me perdi nesse pedaço.
 
Se alguém puder me dar uma luz... Agradeço desde já.
 
Abraços,
 
       Lucas.