Re: [obm-l] PROBLEMAS INTERESSANTES!

[saulo nilson <saulo.nilson@xxxxxxxxx>]

Considere um cone circular reto cuja geratriz mede 3 cm e cujo o raio da
base é igual a 1 cm. Seja P um ponto fixo da circunferênciada da base e C a
curva, de menor comprimento, na superfície do cone que partindo de P, dá uma
única volta completa sobre o cone e retorna novamente para o ponto P.
Determine o co! mprimento de C.

projetando o cone e a curva sobre uma parede, a projeçao da curva vai formar um triangulo de lados, x(onde a curva toca a geratriz , l a curva e simetrica, e 2, o angulo oposto a l e o angulo da base)

angulo de cima:

 

4 = 18-2*9*cosA

 

cosA = 7/9

 

o triangulo e isosceles

2B+A=180

B = 90-A/2

 

cosB = senA/2=raiz(1-cosA)/2=1/3

minimizando a projeçao da curva, minimiza-se a curva:

 

l^2 = 4+x^2-4x/3

 

e uma parabola de concavidade para cima, cujo minimo ocorre em:

x = 2/3

 

que da um valor de l

 

l^2=4 + 4/9-8/9=4-4/9=4*8/9=2^5/3^2

 

l = (4/3)*raiz2

 

e melhor saber ate em que parte da altura a curva vai:

 

senB = h/x

h = xsenB = 2/3 * raiz(1-1/9)=(4/9)raiz2

 

 

 

se abrirmos o cone temos um triangulo isosceles de base 2pi  e altura 2/3

 

L^2/4 = 4/9 + 4pi^2

 

L^2 = 16 * (pi^2 +1/9)

 

L = (4/3)*raiz(9pi^2+1)

 

On 1/13/06, saulo nilson <saulo.nilson@gmail.com> wrote:

ou entao:

S = 4cosb/2cosc/2*cosa/2

S = 4cosc/2cosb/2cosm/2 -senm +sena

 

S = Scosm/2/cosa/2 -senm +sena

 

S =(sena-senm)/(1-cos(m/2)/cos(a/2))

 

se conclui a mesma coisa, abraço, saulo.

 

 

 

On 1/13/06, saulo nilson <saulo.nilson@gmail.com > wrote:

sena +sen b +senc =4cosb/2cosc/2*cosa/2

 

isto vem de

a+b+c = 180

 

b+c =180-a

sen(b+c)=sena

 

chamando a diferençao pedida de  m

 

b-c =m

 

 

b= c+m

 

senb = sen(c+m)

 

chegaremos a:

 

senb+senc+senm = 4cosc/2cosb/2cosm/2

somando sena dos dois lados e S a soma pedida:

 

S = 4cosc/2cosb/2cosm/2 -senm +sena

 

S e maximo quando m tender a zero, abraço, saulo.