[obm-l] Teorema de Galois

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal
desta lista ... OBM-L,

A TEORIA DE GALOIS e uma teoria que permite responder com precisao quanto um 
determinado numero e ou nao construtivel. E uma teoria simples, mas exige 
algum preparo previo, sobretudo em Algebra. O chamado "Teorema de Galois" e 
o nucleo da teoria e pressupondo-se alguns fatos basicos e de facil 
compreensao. Ei-lo :

Sejam N e K corpos com K contido em N. Denotamos este fato com a notacao : 
N|K. Seja C o conjunto de todos os corpos L entre K e N, isto e : C={ L tal 
que L e corpo e K c L c N }.
Seja K-Aut(N|K) o conjunto de todos os K-automorfismos de N|K, vale dizer, f 
pertence a
K-Aut(N|K) se f e um automorfismo de N e f(x)=x para todo x em K. E facil 
ver que K-Aut(N\K) e um grupo ( com a operacao de composicao de funcoes ). 
Seja G o conjunto de todos os sub-grupos de K-Aut(N|K), isto e, G={g tal que 
g e sub-grupo de K-Aut(N|K) }

Vamos agora definir duas aplicacoes :

1) gru : C -> G
gru(L) = { todos os f em K-Aut(N|K) tal que f(x)=x, para qualquer x em L }

2) cor: G -> C
cor(g) ={ todos os x em N tal que f(x)=x para todo f em g }

O par de aplicacoes {gru,cor} e chamado uma CONEXAO DE GALOIS. E facil ver 
que, de fato, gru(L) e um corpo e cor(g) e realmente um corpo. Se estas 
aplicacoes forem bijetivas, a conexao de Galois passa a ser chamada de 
CORRESPONDENCIA DE GALOIS.

Em que condicoes temos uma correspondencia de Galois ? Bom, uma condicao e a 
seguinte :

TEOREMA 1 : Se N|K e separavel, normal e finita entao a sua conexao de 
galois e uma correspondencia de galois.

Bem entendido : a TODO subgrupo de K-Aut(N|K) correspondera um unico corpo 
entre N e K e, reciprocamente, a TODO corpo entre N e K correspondera um 
subgrupo de K-Aut(N|K). Veja que aqui temos uma exaustao ( existe algo 
maravilhoso aqui mas que nao da para falar com tanta simplicidade ... ). 
Neste caso, se "g" e um subgrupo de K-Aut(N|K), necessariamente finito, vale 
o seguinte :

1) N|cor(g) e normal, separavel, finita e seu grau e precisamente a ordem do 
subgrupo "g"
2) A todo subgrupo conjugado de g ( fgf^-1) esta associado o corpo conjugado 
de cor(g), vale dizer, o corpo f(cor(g)).
3) Se "g" e normal se e somente se cor(g)|K e normal

Este ultimo resultado e o Teorema de Galois. Note que e necessario aprender 
algumas nocoes basicas. E muito importante conhecer bem os rudimentos de 
grupos, pois boa parte da teoria segue caracterizando extensoes que sao 
normais e separaveis ( galosianas ) e os tipos de grupos associados. Neste 
caso estao as extensoes ciclotomicas, ciclicas etc.

Eu gosto do livro do Milne sobre teoria de Galois, que aconselho pra voces.

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,1215,250805

_________________________________________________________________
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
http://www.msn.com.br/discador

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================