Re: [obm-l] O Problema Generalizado

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Vou dar um espaço para quem quiser pensar, está depois da mensagem
original do Paulo.

On 8/25/05, Paulo Santa Rita <paulosantarita@hotmail.com> wrote:
> Ola Pessoal
> desta lista ... OBM-L,
> 
> Vimos que no caso do primo p=3 para quaisquer R1,R2,R3 pertencentes a {1,2}
> temos sempre que que R1^2 + R2^2 + R3^2 e multiplo de tres, vale dizer, se
> tomarmos 3 naturais nao divisiveis por 3, a soma dos seus quadrados e
> divisivel por 3.
> 
> Veja que no caso p=5 isso nao vale pois 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2= 11 que
> nao e multiplo de 5. Assim, nem sempre a soma dos quadrados de 5 numeros
> nao-divisiveis por 5 e um numero divisivel por 5. Alguem se habilita a
> caracterizar estes primos, isto e, quais sao os numeros primos p tais que
> para quaisquer R1,...,Rp pertencentes a {1,2,...,p-1} temos que
> R1^2+...+Rp^2 e multiplo de p ?
> 
> Um  Abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 5,1115,250805
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> 











Sempre podemos ter (p-1) caras congruentes a 1 na nossa soma, certo?
Daí, se existir um x cujo quadrado seja diferente de 1 módulo p,
teremos 1 + 1 + ... + 1 + x^2 = p-1 + x^2, que por hipótese, é
diferente de p, pois x^2 !== 1.
Mas, se p > 4, temos que 1 < 2^2 < p, portanto 2^2 !== 1 para p > 4.
Assim, apenas p = 3 satisfaz esta condiç~ao.

Abracos,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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