Re: [obm-l] naturais

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Cuidado: nada obriga a == b == c (usando a sua notaç~ao para
congruência) módulo 3. Eu acho que (para n~ao ter que fazer as 2^3
contas) dá pra fazer assim:
Se x == 1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3).
Se x == 2 == -1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3).
Daí, se x !== 0 (mod 3) , ou seja, x n~ao é múltiplo de 3, temos x ==
1 ou x == -1, ent~ao x^2 == 1 das duas formas. Daí, a^2 == 1, e o
mesmo vale para b^2 e c^2. Daí, temos 1 + 1 + 1 == 0 e a^2 + b^2 + c^2
== 0.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 8/25/05, Paulo Santa Rita <paulosantarita@hotmail.com> wrote:
> Ola Renato e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
> 
> ( NAO USAREI ACENTOS )
> 
> Voce percebeu bem. Como ser suficientemente geral ? Da forma como voce fez
> ...
> OBS : "=="  significa  "e congruente a"
> 
> a = 3N+1, N natural   =>   a == 1 (mod 3 )  =>   a^2 == 1^2  (mod 3)
> b = 3N+1, N natural   =>   b == 1 (mod 3)  =>   b^2 == 1^2  (mod 3)
> c = 3N+1, N natural   =>   c == 1(mod 3)   =>   c^2 == 1^2   (mod 3)
> 
> a^2 + b^2 + c^2 == 3(mod3) => a^2+b^2+c^2 e divisivel por 3
> 
> Mesmo raciocinio para o caso 3N+2.
> 
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 5,0930,250805
> 
> >From: "Renato G Bettiol" <renatobettiol@gmail.com>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: "obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: [obm-l] naturais
> >Date: Thu, 25 Aug 2005 09:13:32 -0300
> >
> >Bom dia!
> >Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso:
> >
> >"Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então
> >a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3."
> >
> >Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2,
> >sendo n natural também.
> >Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por
> >três?
> >Grande abraço a todos,
> >
> >Renato
> >
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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