Re: [obm-l] cos(2*pi/17)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

Bem, se eu nao me engano foi mais ou menos esta a
ideia de Gauss.


--- Jefferson Franca <jeffmaths@yahoo.com.br>
escreveu:

> Nem vou perguntar de onde tirou essa idéia, mas
> valeu pela solução.
> 
> "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
> escreveu:On Mon, Aug 22, 2005 at 01:26:34PM -0300,
> Jefferson Franca wrote:
> > Como posso calcular o cosseno de 2pi/17 ?
> 
> Vou dar só um esboço e a resposta.
> 
> Defina x1, x2, ..., x8 como xk = 2*cos(2*k*pi/17).
> Prove que w1=x1+x2+x4+x8 e w2=x3+x5+x6+x7 são as
> raízes de w^2+w-4,
> donde w1 = (-1+sqrt(17))/2, w2 = (-1-sqrt(17))/2.
> 
> Sejam z1=x1+x4 e z2=x2+x8. Prove que z1*z2 = -1.
> Como z1+z2=w1, conclua que
> z1 = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17)))/4,
> z2 = (-1+sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17)))/4.
> 
> Sejam y1=x1*x4, y2=x2*x8, y3=x3*x5, y4=x6*x7. Prove
> que y1*y2=-1.
> 
> Sejam u1=y1+y2, u2=y3+y4.
> Prove que u1 e u2 são raízes de u^2+u-4 donde u1=w2,
> u2=w1.
> Conclua que y1 e y2 são raízes de y^2 - u1*y - 1,
> donde
> y1 = (-1-sqrt(17)+sqrt(34+2*sqrt(17)))/4,
> y2 = (-1-sqrt(17)-sqrt(34+2*sqrt(17)))/4.
> 
> Como conhecemos os valores de z1=x1+x4 e y1=x1*x4,
> fica fácil obter x1.
> 
> []s, N.
>
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