RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Nesta solucao, a base apontada pelo Daniel eh o que se chama de base de
Hamel? 
Nenhuma base de R sobre Q popde ser enumeravel, certo?

Sobre este assunto, especificamente sobre a questao levantada pelo Nicolau,
no sentido de efetivamente construirmos o conjunto, eu encontrei na internet
uma solucao proposta por um matematico americano, que nao sei dizer dizer se
eh correta:


Sendo S a colecao de todas as sequencias limitadas de R, entao, segundo o
matematico, o conjunto A = {Soma(k=1 a oo) a(k)/(2^(k!) | sequencia {a(k)}
pertence a S} satisfaz ao desejado. Eh facil ver que A nao eh enumeravel  e
que eh fechado com relacao aa soma. O matematico afirma que o Liouville's
Approximation Theorem , Teorema da Aproximação de Liouvile,  implica que os
elementos de A sejam transcendentes, logo irracionais (nao foi apresentada
prova desta afirmacao). Se o matematico estiver certo, entao temos de fato
um conjunto construido explicitamente sem recorrer ao axioma da escolha. 

Artur   







-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 09:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma


On Thu, Aug 11, 2005 at 09:28:31PM -0300, kleinad2@globo.com wrote:
>  '>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja
fechado
>  '>'com relacao aa soma
> 
> Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
> (racionais), então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável
> sobre Q, e,
> portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q
> é não-enumerável.
> 
> Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}.

Esta solução (correta) usa o axioma da escolha para obter a base e portanto
o conjunto obtido no final não é dado explicitamente.

Uma pergunta que eu nao sei reponder:

É possível responder a pergunta original com a interpretação de que
"encontre" significa "construa" ou "descreva explicitamente" 
(sem usar o axioma da escolha)?

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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