Re: RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, esta é uma propriedade legal das "séries X^(-k!)". Uma idéia é
que estes números são "muito bem aproximados por racionais", e que
portanto não podem ser algébricos (eu acho que eu sei provar que eles
não são racionais, mas a parte dos algébricos eu não lembro direito).
Veja que o truncamento desta série é um racional, calcule a diferença
(use que a(k) é limitada para isso) e veja que ela é muito menor do
que o maior denominador (estime a potência p tal que | irr -
truncamento_em_n | <= (X^(-n!))^p)

Eu acho que é por aí.
Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 8/12/05, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> Nesta solucao, a base apontada pelo Daniel eh o que se chama de base de
> Hamel?
> Nenhuma base de R sobre Q popde ser enumeravel, certo?
> 
> Sobre este assunto, especificamente sobre a questao levantada pelo Nicolau,
> no sentido de efetivamente construirmos o conjunto, eu encontrei na internet
> uma solucao proposta por um matematico americano, que nao sei dizer dizer se
> eh correta:
> 
> 
> Sendo S a colecao de todas as sequencias limitadas de R, entao, segundo o
> matematico, o conjunto A = {Soma(k=1 a oo) a(k)/(2^(k!) | sequencia {a(k)}
> pertence a S} satisfaz ao desejado. Eh facil ver que A nao eh enumeravel  e
> que eh fechado com relacao aa soma. O matematico afirma que o Liouville's
> Approximation Theorem , Teorema da Aproximação de Liouvile,  implica que os
> elementos de A sejam transcendentes, logo irracionais (nao foi apresentada
> prova desta afirmacao). Se o matematico estiver certo, entao temos de fato
> um conjunto construido explicitamente sem recorrer ao axioma da escolha.
> 
> Artur
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de Nicolau C. Saldanha
> Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 09:22
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
> 
> 
> On Thu, Aug 11, 2005 at 09:28:31PM -0300, kleinad2@globo.com wrote:
> >  '>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja
> fechado
> >  '>'com relacao aa soma
> >
> > Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
> > (racionais), então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável
> > sobre Q, e,
> > portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q
> > é não-enumerável.
> >
> > Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}.
> 
> Esta solução (correta) usa o axioma da escolha para obter a base e portanto
> o conjunto obtido no final não é dado explicitamente.
> 
> Uma pergunta que eu nao sei reponder:
> 
> É possível responder a pergunta original com a interpretação de que
> "encontre" significa "construa" ou "descreva explicitamente"
> (sem usar o axioma da escolha)?
> 
> []s, N.
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================