RES: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO

["Guilherme" <gui@xxxxxxxxxx>]

Olá a todos!

A solução que o Nicolau citou é obtida traçando-se uma paralela QQ´ a
AC, onde Q´ pertence ao lado BC. Ligando-se o ponto Q´ ao ponto A,
obtemos o ponto D na interseção de AQ´ com CQ. Como o triângulo ACD é
equilátero e o triângulo APC é isósceles, verificamos que PC = DC. Logo,
o ângulo PDC = 80º e portanto, PDQ´ mede 40º. Do triângulo ACQ´, tiramos
que o ângulo AQ´C mede também 40º. Vemos, portanto, que os triângulos
DQQ´ e DPQ´ são respectivamente equilátero e isósceles apoiados na mesma
base DQ´. Daí tiramos que as alturas são também bissetrizes internas e
estão sobre a reta QP. Logo, o ângulo QPD mede 50º pois é a metade de
DPQ´ que vale 100º. Como o ângulo APQ é a soma de APD e DPQ, ele mede
30º + 50º = 80º.

Eu também estou muito interessado na solução geral para ângulos
quaisquer na base, já que esta solução só funciona porque o triângulo
APC é isósceles e o triângulo ACD é equilátero. Se mudássemos o ângulo
CAP para 45º, por exemplo, já não poderíamos aplicar a mesma solução. 
Como fazer neste caso? Acredito que seja também uma luz para o problema
do Pacini que tinha o título geometria nesta lista. Só consigo resolver
utilizando trigonometria e/ou geometria analítica. 

Um grande abraço, 

Guilherme Marques.



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
nome de ronaldogandhi@ig.com.br
Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:12
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO


Em 25 Feb 2004, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 

>On Wed, Feb 25, 2004 at 06:45:10PM -0300, Victor Machado wrote:
>> 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P 
>> e Q
>sao
>> pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo 
>> CÂP =
>50o
> e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. --- 
> 
>Este problema é um clássico e é bastante difícil.
>A solução mais tradicional envolve traçar umas retas auxiliares 
>e observar que um monte de triângulos são isósceles e/ou equiláteros. 

   Me deram esse problema quando eu tinha 14 e eu não resolvi, 
mas fiz o que o professor Nicolau está dizendo, tracei um 
monte de retas auxiliares e triângulos e fiquei analisando 
as geometrias das figuras.  O que me veio a mente depois de 
ver a solução, foi se existiria solução no caso geral para 
ângulos arbitrários e como alguém resolveria isso neste 
caso. 
     Eu imagino que as técnicas aplicadas para resolver 
o caso geral não sejam elementares e apelariam para 
formas modulares ou coisas do gênero.  Talvez alguém da 
lista possa falar a respeito. 

[]s 
  Ronaldo L. Alonso 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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