Re: [obm-l] Problema do Dirichlet

Valeu cara!!!!!!!!Bem,se e assim...Alias,eu curto um pouco de braço as vezes.Devia ter pensado em vetores mas tudo bem,ce fez o trabalho sujo pra mim.MUITO OBRIGADO!!!!!!Agora brinque um pouco com essas duas aplicaçoes.

"Uma reta contendo o incentro de um triangulo bissecta a area se e somente se bissecta o perimetro do triangulo."

a segunda eu mando depois...

Ass.:Johann

Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Ok, seu Dirichlet:

Como você está se compromentando publicamente a ter nexo, relevância e educação (pelo menos nas suas mensagens pra lista), eu vou cumprir minha parte do trato. Aqui vai:

O problema:

Considere o triangulo ABC e um ponto T. Duas cevianas CT_c e BT_b se cortam
em T e os pontos R_c,R_b e T sao alinhados,com R_c em AB e R_b em AC.
Mostre que:

(AT_c * BR_c) / (BT_c * AR_c) + ( AT_b * CR_b ) / (CT_b * AR_b ) = 1

*****

Solução usando vetores:

Tomando A como origem, sejam U e V vetores unitários nas direções de AB e AC, respectivamente.
Como ABC é não-degenerado, U e V são L.I.

Assim, existem números reais h, k, a, b, c, d tais que:
AB = hU, AC = kV, AT_c = aU, AR_c = bU, AT_b = cV, AR_b = dV

Como | U | = | V | = 1, podemos re-escrever escrever a expressão do enunciado em função
apenas de h, k, a, b, c, d.
Assim:
(AT_c * BR_c) / (BT_c * AR_c) + ( AT_b * CR_b ) / (CT_b * AR_b ) =

= (a*(h - b))/((h - a)*b) + (c*(k - d))/((k - c)*d) =

= (ha - ab)/(hb - ab) + (kc - cd)/(kd - cd) =

= NUM / DEN
onde:
NUM = hkad - hacd - kabd + abcd + hkbc - hbcd - kabc + abcd
e
DEN = hkbd - hbcd - kabd + abcd

Temos que provar que NUM / DEN = 1, ou seja, que NUM = DEN.

Em outras palavras, basta provar que:
NUM - DEN = abcd - hacd - kabc + hkad + hkbc - hkbd = 0

*****

Vamos agora à geometria:

R_c, T, R_b são colineares ==>
existe um no. real x tal que: AT = x*AR_c + (1-x)*AR_b ==>
AT = xbU + (1-x)dV (1)

B, T, T_b são colineares ==>
existe um no. real y tal que: AT = y*AB + (1-y)*AT_b ==>
AT = yhU + (1-y)cV (2)

C, T, T_c são colineares ==>
existe um no. real z tal que: AT = z*AC + (1-z)*AT_c ==>
AT = zkV + (1-z)aU (3)

(1) e (2) ==> xbU + (1-x)dV = yhU + (1-y)cV ==>
(xb - yh)U + ((1-x)d - (1-y)c)V = 0

(1) e (3) ==> xbU + (1-x)dV = zkV + (1-z)aU ==>
(xb - (1-z)a)U + ((1-x)d - zk)V = 0

Como U e V são LI, podemos concluir que:
xb - yh = 0
(1-x)d - (1-y)c = 0
xb - (1-z)a = 0
(1-x)d - zk = 0

Ou seja, rearranjando:
bx - hy = 0
-dx + cy = c - d
bx + az = a
dx + kz = d

Resolvendo para x, achamos que:
x = (hc - hd)/(bc - hd)
e
x = (ka - ad)/(kb - ad)

Igualando estas expressões, multiplicando e simplificando, caímos em:
abcd - hacd - kabc + hkad + hkbc - hkbd = 0.

No entanto, esta expressão é precisamente igual a NUM - DEN
(Lembre-se: NUM - DEN = abcd - hacd - kabc + hkad + hkbc - hkbd).

Logo, NUM - DEN = 0 ==>

NUM = DEN ==>

NUM / DEN = 1 ==>

acabou!!!

*****

Repare que, apesar da álgebra meio braçal no final, a idéia central da solução é bastante simples, o que ilustra (espero) o grande poder do método vetorial em geometria. Pense na sua dificuldade em resolver este problema via Menelaus ou algum outro teorema mais elegante...

Um abraço,
Claudio.