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Ok, seu Dirichlet:
Como você está se compromentando publicamente a ter nexo, relevância e
educação (pelo menos nas suas mensagens pra lista), eu vou cumprir minha parte
do trato. Aqui vai:
O problema:
Considere o triangulo ABC e um ponto T. Duas cevianas CT_c e BT_b se
cortam
em T e os pontos R_c,R_b e T sao alinhados,com R_c em AB e R_b em AC. Mostre que: (AT_c * BR_c) / (BT_c * AR_c) + ( AT_b * CR_b ) / (CT_b * AR_b ) = 1 ***** Solução usando vetores: Tomando A como origem, sejam U e V vetores unitários nas direções de AB e AC, respectivamente. Como ABC é não-degenerado, U e V são L.I. Assim, existem números reais h, k, a, b, c, d tais que: AB = hU, AC = kV, AT_c = aU, AR_c = bU, AT_b = cV, AR_b = dV Como | U | = | V | = 1, podemos re-escrever escrever a expressão do enunciado em função apenas de h, k, a, b, c, d. Assim: (AT_c * BR_c) / (BT_c * AR_c) + ( AT_b * CR_b ) / (CT_b * AR_b ) = = (a*(h - b))/((h - a)*b) + (c*(k - d))/((k - c)*d) =
= (ha - ab)/(hb - ab) + (kc - cd)/(kd - cd) =
= NUM / DEN
onde: NUM = hkad - hacd - kabd + abcd + hkbc - hbcd - kabc + abcd e DEN = hkbd - hbcd - kabd + abcd Temos que provar que NUM / DEN = 1, ou seja, que NUM = DEN. Em outras palavras, basta provar que:
NUM - DEN = abcd - hacd - kabc + hkad + hkbc - hkbd = 0 ***** Vamos agora à geometria: R_c, T, R_b são colineares ==> existe um no. real x tal que: AT = x*AR_c + (1-x)*AR_b ==> AT = xbU + (1-x)dV (1) B, T, T_b são colineares ==> existe um no. real y tal que: AT = y*AB + (1-y)*AT_b ==> AT = yhU + (1-y)cV (2) C, T, T_c são colineares ==> existe um no. real z tal que: AT = z*AC + (1-z)*AT_c ==> AT = zkV + (1-z)aU (3) (1) e (2) ==> xbU + (1-x)dV = yhU + (1-y)cV ==> (xb - yh)U + ((1-x)d - (1-y)c)V = 0 (1) e (3) ==> xbU + (1-x)dV = zkV + (1-z)aU ==> (xb - (1-z)a)U + ((1-x)d - zk)V = 0 Como U e V são LI, podemos concluir que: xb - yh = 0 (1-x)d - (1-y)c = 0 xb - (1-z)a = 0 (1-x)d - zk = 0 Ou seja, rearranjando: bx - hy = 0 -dx + cy = c - d bx + az = a dx + kz = d Resolvendo para x, achamos que: x = (hc - hd)/(bc - hd) e x = (ka - ad)/(kb - ad) Igualando estas expressões, multiplicando e simplificando, caímos em: abcd - hacd - kabc + hkad + hkbc - hkbd = 0. No entanto, esta expressão é precisamente igual a NUM - DEN (Lembre-se: NUM - DEN = abcd - hacd - kabc + hkad + hkbc - hkbd). Logo, NUM - DEN = 0 ==> NUM = DEN ==>
NUM / DEN = 1 ==>
acabou!!!
*****
Repare que, apesar da álgebra meio braçal no final, a idéia central da
solução é bastante simples, o que ilustra (espero) o grande poder do método
vetorial em geometria. Pense na sua dificuldade em resolver este problema via
Menelaus ou algum outro teorema mais elegante...
Um abraço,
Claudio. |