Re: [obm-l] Fibonacci

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 09.04.03 12:01, Marcio at marciocohen@superig.com.br wrote:

> Obrigado ao pessoal que se manifestou na questao do rearranjo!
> Segue aqui um outro problema legal, que tambem ja circulou (sem resposta)
> pela lista.
> 
> Esse eu consegui fazer (na época eu não tinha conseguido), mas minha solução
> é meio feia. Fica aqui pra voces tentarem também. Se alguém quiser depois eu
> mando a solução.
> 
> Seja F_n o n-esimo nr. de fibonacci. Mostre que a serie 1/(F_n) converge, e
> determine sua soma.
> 
> Abracos,
> Marcio
> 
> PS: Eu iria mandar pra Eureka como proposto, mas achei universitario demais.
> 
Oi, Marcio:

Estou supondo que F(1) = F(2) = 1  e  F(n) = F(n-1) + F(n-2) para n >= 3.

A convergencia eh consequencia do seguinte resultado, que pode ser provado
por inducao completa:

Para todo n >= 3  F(n) > (5/4)^n
Dem:
F(3) = 2 > (5/4)^3 = 1,953125

Suponha que para 3 <= k <= n-1 tenhamos F(k) > (5/4)^k

Entao: 
F(n) = F(n-1) + F(n-2) > (5/4)^(n-1) + (5/4)^(n-2) =
= (5/4 + 1)*(5/4)^(n-2) = (9/4)*(5/4)^(n-2) > (25/16)*(5/4)^(n-2) = (5/4)^n
-----

Como, para n >=3, F(n) > (5/4)^n, temos que:
para n >= 3, 0 < 1/F(n) < (4/5)^n.

Alem disso, SOMA(n>=3) (4/5)^n converge.

Logo SOMA(n>=3) 1/F(n) converge, pelo teste da comparacao.

*******

Acho que a soma pode sair atraves da formula de Binet:

F(n) = (1/raiz(5))*(A^n - B^n), onde:

A = (1+raiz(5))/2  e  B = (1-raiz(5))/2

mas ainda nao encontrei o caminho.

Gostei do problema. Seria uma pena se todas as solucoes fossem feias, pois a
sequencia de Fibonacci eh tao "bonitinha"...

Um abraco,
Claudio.


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