Re: [obm-l] Fibonacci

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Marcio:

Dei uma pesquisada na internet e parece a prova da irracionalidade da soma
dos reciprocos dos numeros de Fibonacci foi um dos problemas propostos por
Paul Erdos e que soh foi resolvido na decada de 1980.

Assim, o valor exato desta soma nao deve poder ser expresso como uma
combinacao de constantes conhecidas (Pi, e, raiz(5), etc.).

Sendo assim, eu gostaria muito de ver a sua solucao.

Um abraco,
Claudio.

on 09.04.03 21:14, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> on 09.04.03 12:01, Marcio at marciocohen@superig.com.br wrote:
> 
>> Obrigado ao pessoal que se manifestou na questao do rearranjo!
>> Segue aqui um outro problema legal, que tambem ja circulou (sem resposta)
>> pela lista.
>> 
>> Esse eu consegui fazer (na época eu não tinha conseguido), mas minha solução
>> é meio feia. Fica aqui pra voces tentarem também. Se alguém quiser depois eu
>> mando a solução.
>> 
>> Seja F_n o n-esimo nr. de fibonacci. Mostre que a serie 1/(F_n) converge, e
>> determine sua soma.
>> 
>> Abracos,
>> Marcio
>> 
>> PS: Eu iria mandar pra Eureka como proposto, mas achei universitario demais.
>> 
> Oi, Marcio:
> 
> Estou supondo que F(1) = F(2) = 1  e  F(n) = F(n-1) + F(n-2) para n >= 3.
> 
> A convergencia eh consequencia do seguinte resultado, que pode ser provado
> por inducao completa:
> 
> Para todo n >= 3  F(n) > (5/4)^n
> Dem:
> F(3) = 2 > (5/4)^3 = 1,953125
> 
> Suponha que para 3 <= k <= n-1 tenhamos F(k) > (5/4)^k
> 
> Entao: 
> F(n) = F(n-1) + F(n-2) > (5/4)^(n-1) + (5/4)^(n-2) =
> = (5/4 + 1)*(5/4)^(n-2) = (9/4)*(5/4)^(n-2) > (25/16)*(5/4)^(n-2) = (5/4)^n
> -----
> 
> Como, para n >=3, F(n) > (5/4)^n, temos que:
> para n >= 3, 0 < 1/F(n) < (4/5)^n.
> 
> Alem disso, SOMA(n>=3) (4/5)^n converge.
> 
> Logo SOMA(n>=3) 1/F(n) converge, pelo teste da comparacao.
> 
> *******
> 
> Acho que a soma pode sair atraves da formula de Binet:
> 
> F(n) = (1/raiz(5))*(A^n - B^n), onde:
> 
> A = (1+raiz(5))/2  e  B = (1-raiz(5))/2
> 
> mas ainda nao encontrei o caminho.
> 
> Gostei do problema. Seria uma pena se todas as solucoes fossem feias, pois a
> sequencia de Fibonacci eh tao "bonitinha"...
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> =========================================================================
> 

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