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O livro An Introduction to the Theory of Numbers
(GH Hardy, EM Wright) fornece a demonstração de Fermat para n=4, usando o
"method of descent". Segundo o livro, este é o único caso "fácil" do teorema.
O livro também fornece a demonstração para n=3, sem
fazer qualquer menção a Euler. Para mim, é mais fácil entender a Crítica da
Razão Pura (Kant) escrita em aramaico do que a demonstração do UTF para
n=3.
JF
----- Original Message -----
From: Cláudio (Prática) To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, April 09, 2003 1:21 PM Subject: Re: [obm-l] Fw: sqrt(12a^3 - 3) Oi, Salvador: Acho que Fermat provou o caso n = 4 (de fato, usando descida infinita). O caso n = 3 foi provado por Euler usando aritmética em Z[raiz(-3)], se não me engano, e a demonstração é mais difícil do que o caso n = 4. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Salvador Addas Zanata" <sazanata@ime.usp.br> To: <obm-l@mat.puc-rio.br> Sent: Wednesday, April 09, 2003 11:39 AM Subject: Re: [obm-l] Fw: sqrt(12a^3 - 3) > > So um pequeno pitaco: A versao do ultimo teorema de fermat para n=3 nao e > muito dificil de provar, se nao me engano foi provada pelo proprio. Acho > que saiu na rpm, tem tambem no livro "100 great problems of elementary > mathematics", Dorrie. Usa o principio da descida infinita (nao sei se o > nome eh exatamente esse). A ideia eh a partir de uma sol., construir outra > onde pelo menos um dos numeros eh estritamente menor que o outro. > > > Abraco, > > Salvador > > > On Tue, 8 Apr 2003, Wagner wrote: > > > > > ----- Original Message ----- > > From: Cláudio (Prática) > > To: Wagner > > Sent: Monday, April 07, 2003 4:02 PM > > Subject: Re: sqrt(12a^3 - 3) > > > > > > Oi, André: > > > > Gostei muito do problema. Realmente, o UTDF nunca chegou a me passar pela cabeça - foi, sem dúvida, uma ótima idéia. > > > > Acho que você deveria mandar esta solução pra lista. > > > > Obrigado e um abraço, > > Claudio. > > ----- Original Message ----- > > From: Wagner > > To: Cláudio (Prática) > > Sent: Friday, April 04, 2003 9:52 PM > > Subject: Re: sqrt(12a^3 - 3) > > > > > > Oi Cláudio > > > > Fui eu que inventei esse problema. > > A solução é muito mais difícil do que parece > > Foi assim que eu criei esse problema: > > Se a,b,c são três números inteiros, tais que: > > (a+b)^3 = a^3 + c^3. > > Então segundo o último teorema de Fermat > > (a+b),a ou c é igual a zero. Pois se eles fossem > > todos não nulos, isso seria uma contradição do > > teorema no caso n=3. > > Se (a+b)^3 = a^3 + c^3 . Então: > > ((a+b)/b)^3 = (a/b)^3 + (c/b)^3. Para b diferente de zero. > > Logo: ((a/b)+1)^3 = (a/b)^3 + (c/b)^3. > > Sejam x e y dois números racionais tais que: > > x=a/b e y=c/b. > > Então: (x+1)^3 = x^3 + y^3 => > > x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 - y^3 = 0 => > > 3x^2 + 3x + (1-y^3) = 0. > > Vamos calcular x em função de y: > > delta = 9 - 12(1 - y^3) = 12y^3 - 3. > > x =( -3 + - sqrt(delta))/6. ( i ) > > > > Agora suponha que a+b=0. > > Então a = -b => 0 = -b^3 + c^3 => b=c => y=1 > > Se a = 0, b^3 = c^3 => b=c => y=1 > > Se c = 0, (a+b)^3 = a^3 => b=0 e então nem x nem y fazem sentido. > > Note que sempre que c é diferente de zero, b é diferente de zero. > > Se a,b e c forem números inteiros e c for diferente de zero, > > então x e y vão ser números racionais. Mas segundo o teorema de Fermat > > isso implica que y = 1. Logo x é racional se e somente se y = 1. > > Mas temos de ( i ) que x é racional se e somente se sqrt(delta) = sqrt(12y^3 - 3) > > for racional. Logo sqrt(12y^3 - 3) só é racional se y=1. > > > > Na verdade a maior dificuldade dessa solução é associar o problema ao teorema > > de Fermat (o que é na verdade muito difícil) > > > > > > André T. > > > > > > ----- Original Message ----- > > From: Cláudio (Prática) > > To: timpa@uol.com.br > > Cc: claudio.buffara@terra.com.br > > Sent: Friday, April 04, 2003 5:00 PM > > Subject: sqrt(12a^3 - 3) > > > > > > Oi, Andre: > > > > Você já conseguiu provar que se "a" e sqrt(12a^3 - 3) são racionais, então a = 1? > > De onde você tirou esse problema? > > > > Parece que é fácil mas há dias eu tenho tentado sem sucesso. > > > > Um abraço, > > Claudio. |