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["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> Grande Duda !
> E ai maluco, tudo blz ?
>
> Realmente, eu nao recebi a mensagem do Fabio a que voce se refere. Aqui
onde
> estou ha uma preocupacao muito grande com seguranca, mas o sub-sistema que
> cuida disso ta meio doido e as vezes passa sistematicamente a bloquear
> certas mensagens, que ele identifica por letras contidas no nome da pessoa
> que envia. Ele vai ser trocado, mas, ate la, sou obrigado a conviver com
> isso.
>
> O problema surgiu com o nosso colega Dirichlet, que perguntou :
>
> E POSSIVEL QUE AS RAIZES CUBICAS DE TRES NUMEROS PRIMOS, DOIS A DOIS
> DISTINTOS, SEJAM TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA ?
>
> Eu conjecturei algo mais amplo, a saber :
>
> SE "A", "B" e "C" SAO NATURAIS, DOIS A DOIS DISTINTOS, NENHUM DELES
POTENCIA
> N-ESIMA DE OUTRO NATURAL, ENTAO ELES NAO PODEM SER TERMOS DE UMA MESMA
> PROGRESSAO ARITMETICA.
>
> Claramente que a prova do fato acima responde a pergunta do Dirichlet.
>
>
> PRIMEIRO PASSO DA IDEIA
>
> Sem perda de generalidade podemos supor A < B < C. Evidentemente :
RAIZ_N(A)
> < RAIZ_N(B) < RAIZ_N(C). Dizer que essas raizes sao termos de uma mesma PA
> significa dizer que existem naturais "R", "S" e "T" tais que :
>
> X + YR = RAIZ_N(A)
> X + YS = RAIZ_N(B)
> X + YT = RAIZ_N(C)
>
> Para algum par (X,Y) de numeros reais ( que serao, respectivamente :
> X=primeiro termo da PA, Y=razao da PA )
>
> Veja que eu nao estou impondo que "R", "S" e "T" estejam em PA. Nao estou
> impondo tambem uma ordem qualquer sobre eles, isto e, nao estou impondo
que,
> por exemplo, R < S < T.
>
> O certo e que haverao os ponto (R,RAIZ_N(A)) e (T,RAIZ_N(C)). Como a
funcao
> X + Y*N  - X e Y reais fixos e N percorrendo os naturais - e linear, se Y
>
> o ela sera crescente e, obrigatoriamente, R < S < T. Se Y < 0 ela sera
> decrescente e R > S > T. Nos dois casos, a RAIZ_N(B) sera a ordenada de um
> ponto interior ao intervalo de extremos R e T.
>
> Vamos supor doravante, sem perda de generalidade, que R < T. Queremos,
pois,
> saber se pode existir um natural Z do conjunto R+1, R+2, ..., T-2,T-1 tal
> que X + YZ = RAIZ_N(B).
>
>
>
> SEGUNDO PASSO DA IDEIA.
>
> Imagine que voce esta no ponto (R,RAIZ_N(A)). Qual sera a ordenada do
ponto
> que esta sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C))  e que tem
> abscissa R+1 ? sera :
>
> RAIZ_N(A)  +  (RAIZ_N(C)-RAIZ_N(A))/(T-R) =
> [RAIZ_N(A)*(T-R-1) + RAIZ_N(C)]/(T-R)
>
> Se fosse no ponto de abscissa R+2, seria :
> [RAIZ_N(A)*(T-R-2) + 2RAIZ_N(C)]/(T-R)
>
> Os pesos sao sempre da forma : "T-R-i" e "i", isto e, nos estamos diante
de
> uma media ponderada da forma :
>
> (p*RAIZ_N(A)+ q*RAIZ_N(C))/(p+q) com p e q naturais e p+q=T-R.
>
> Essa e a forma das ordenadas dos pontos sobre a reta que liga
(R,RAIZ_N(A))
> a (T,RAIZ_N(C)). Ja vimos que a RAIZ_N(B) tem que estar entre estes dois
> pontos. Logo, devem existir p e q atendendo as condicoes que especificamos
> acima e tais que :
>
> RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q)
>
>

Caro amigo Paulo,

usando a sua notação. Suponhamos que existe três pontos a < b < c naturais
(não potências n-ésimas) de forma que R_n(a), R_n(b) e R_n(c) pertencem a
uma progressão aritmética.
Essa progressão possui primeiro termo X e razão Y. E existem dois inteiros R
e T tais que:
X + Y*R = R_n(a)
X + Y*T = R_n(c)

Você mostrou que caso seja verdade que R_n(b) pertenca a essa mesma
progressão aritmética então vai existir um natural S tal que:
X + Y*S = R_n(b)

E mais o S divide o segmento [R, T] na mesma proporção que o R_n(b) divide o
segmento [R_n(a), R_n(c)]. Em outras palavras o ponto (S, R_n(b)) pertence à
reta que liga os dois pontos (R, R_n(a)) e (T, R_n(c)).

Mas repare que nenhum desses tres pontos pertence ao gráfico da função
contínua f(x) = R_n(x). Os pontos que pertencem ao gráfico são os seguintes:
(a, R_n(a)), (b, R_n(b)) e (c, R_n(c))
Ou ainda
(a, X + Y*R), (b, X + Y*S) e (c, X + Y*T)
E esses três pontos não precisam estar sobre uma reta. Por que os a, b e c
não pertencem a uma mesma progressão aritmética, pelo menos isso você não
demonstrou.

E desse modo a convexidade da função f não contradisse a existência dos
R_n(a), R_n(b) e R_n(c) dentro de uma progressão aritmética.

Outro detalhe: onde na sua prova, você usa o fato de que R_n(a), R_n(b) e
R_n(c) não são inteiros?

Um abração!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.


>
> TERCEIRO PASSO DA IDEIA :
>
> A funcao Y=RAIZ_N(X) e CONTINUA, CRESCENTE e CONVEXA. Isto e, para
quaisquer
> naturais A e C vale :
>
> RAIZ_N((A+C)/2) > (RAIZ_N(A) + RAIZ_N(C))/2
>
> O que me pareceu e que a contradicao vai surgir aqui, pois a expressao de
> convexidade acima pode ser trabalhada para incluir uma media ponderada tal
> como a que vimos no segundo passo. Mas, em verdade, EU NAO FIZ UMA
> DEMONSTRACAO, vale dizer, NAO PROVEI NADA, apenas dei uma sugestao de um
> caminho que me pareceu viavel. ALERTEI QUE AS RAIZES N-ESIMAS DE
PONTENCIAS
> N-ESIMAS E UMA PA, EVIDENTEMENTE !
>
> Um abraco
> Paulo Santa Rita
> 4,1247,220502
>
>
>
>


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