Re: Ajuda

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

So para nao ficar um exercicio sem resposta, vou responde-lo. A soluccao eh
devida a uma dica de um professor meu. Bom, quem quiser tentar a soluccao so
com a dica, leia so a dica:

Dica. Veja que para todo N, existe um M tal que a_M >= 2a_N.

Soluccao abaixo:
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Soluccao.
Construa uma sequencia (N0,N1,N2,...) de forma que a_N(k+1) >= 2a_Nk, dai
temos que
SOMA{ 1 - (a_n)/(a_n+1) , n=Nk...N(k+1)-1 }
= SOMA{ [ (a_n+1) - (a_n) ] /(a_n+1) , n=Nk...N(k+1)-1 }
>= SOMA{ [ (a_n+1) - (a_n) ] /(a_N(k+1)) , n=Nk...N(k+1)-1 }
= [ a_N(k+1) - a_Nk ] /(a_N(k+1)) >= 1 - 1/2  = 1/2
e dai
SOMA{ 1 - (a_n)/(a_n+1) , n=N0...N(k)-1 }
>= k*1/2
o que prova que a serie eh ilimitada, e portanto diverge.

Eduardo Casagrande Stabel.
Obrigado!


-----Mensagem Original-----
De: dudasta@terra.com.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviada em: Quinta-feira, 5 de Abril de 2001 22:18
Assunto: Ajuda



Resolvendo um exercicio do livro Analise Real do E. L. Lima eu cheguei a um
resultado que acho que eh verdadeiro, mas estou com dificuldades para
analisa-lo, e nao consigo dar contra-exemplos.


  Se (a_1, a_2, ...) eh uma sequencia nao-decrescente e Lim(a_n) = INF,
entao a serie SOMA{ 1 - (a_n)/(a_n+1) } diverge.


Por favor, se tiverem alguma dica, digam!

Eduardo Casagrande Stabel.