-----Mensagem Original-----
Enviada em: Quinta-feira, 12 de
Abril de 2001 14:32
Assunto: Re: Algoritmo de
equacao
Isto eh o metodo conhecido como de Cardano
(embora a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro
impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro
Resolucao de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ. Santa
Ursula.
So alguns detalhes:
a) No passo 2, eh q, e nao -q.
b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz
"encontramos raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou
complexos? Se for nos complexos, seria necessario esclarecer qual das 3
raizes cubicas se escolherah. Isto pode dar problema no passo 6, e voce
achar "raizes estranhas". Se voce so aceitar trabalhar nos reais, nao
conseguirah resolver equacoes simples, que so tem raizes
reais.
O melhor eh substituir os passos 3 a 6
por:
3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da
equacao acima.
4) Encontre uma raiz cubica z de y1
(isto eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)
5) Temos x1=z-p/(3z)
c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez
achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente.
Chamando u = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu.
(Observe que w^2=1/w = conjugado de w)
d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u;
x3= w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1)
foram responsaveis, historicamente, pela introducao do tema
"permutacoes" na resolucao de equacoes algebricas, e acabaram dando na
Teoria de Galois (1830), que explica quando uma equacao pode ser
resolvida por uma "formula", em termos das propriedades dos "grupos" de
permutacoes das suas raizes.
JP
----- Original Message -----
Sent: Thursday, April 12, 2001
11:55 AM
Subject: Algoritmo de
equacao
Por uma obra "do acaso", "descobri" (sem saber q já
existia) um algoritmo que calcula as raízes de uma equacao do
tipo:
ax^3 + bx + c = 0
Chamamos tais raízes de x1, x2 e x3
1) Dividimos a equacao por a : x^3 + px
+ q = 0
2) Montamos uma nova equacao em y tal
que: y^2 - qy - (p^3)/27 = 0
3) Encontramos as raízes y1 e
y2 da equacao acima
4) Encontramos raíz cúbica de y1, chamando esta de
k1
5) Encontramos raíz cúbica de y2, chamando esta de
k2
6) Temos: x1 = k1 + k2
7) Dividimos (x^3 + px + q)/(x - x1),
encontrando: x^2 + (x1)x + p + (x1)^2
8) As raízes desta equacao sao x2 e x3
9) x2 = (-x1 +
sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
10) x3 = (-x1 -
sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
Posso ter vacilado em alguma conta, por favor
avisem...
[]'s
Alexandre
Terezan