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Re: Algoritmo de equacao



Vindo do senhor, sinto-me muito grato pelo elogio.
 
Aliás, a história da minha "descoberta" é muito simples.
 
Vem do seguinte (e fácil) probleminha:
 
    Sejam x1 e x2 as raízes da equacao  x^2 + bx + c = 0. Sejam (x1)^3 e (x2)^3 as raízes da equacao x^2 + px + q = 0. Encontre p e q em funcao de b e c.
 
Como resposta temos: q = c^3 ; p = b^3 - 3bc
 
Rearrumando a segunda equacao, vem:  b^3 - 3bc - p = 0
 
Meu algoritmo nada mais é do que arrumar uma equacao de terceiro grau de forma que ela possa ser resolvida pela equacao de terceiro grau:
 
 b^3 - 3bc - p = 0 , onde eu quero encontrar b, que corresponde ao oposto da soma das raízes cúbicas da equacao:
 
 x^2 + px + q = 0 , onde q = c^3.
 
Espero ter sido claro...
 
[ ]'s
 
Alexandre Terezan
 
 
----- Original Message -----
Sent: Sexta-feira, 13 de Abril de 2001 04:50
Subject: Re: Algoritmo de equacao

Quero acrescentar o seguinte:
1) De qualquer forma, se o Alexandre redescobriu sozinho o metodo de Cardano, ele estah de parabens!
2) O Gugu, quando era aluno do ensino medio, descobriu sozinho um metodo, diferente do de Cardano, para resolver "por meio de radicais" as equacoes do terceiro e do quarto grau. Isto estah em algum numero da Revista do Professor de Matematica.
3) Para o 4o grau, o meu livro menciona apenas superficialmente um metodo muito chato. O mais comumente mencionado eh o de Ferrari, contemporaneo de Cardano. Gosto mais do metodo do Gugu.
4) Fique claro que a resolucao por meio de radicais tem um interesse mais teorico e historico. O mais pratico mesmo eh usar metodos numericos que servem para qualquer grau (tambem estao no meu livro, sem usar "Calculo").
JP
 
 
 
----- Original Message -----
From: Luis Lopes
Sent: Thursday, April 12, 2001 4:35 PM
Subject: Re: Algoritmo de equacao

Sauda,c~oes,
 
Somente duas observações:
 
1) as equações do 3o. grau não precisam ser incompletas. O algoritmo resolve equações do tipo
a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 . Só que o primeiro passo é transformá-la na equação ax^3 + bx + c = 0 através de uma mudança de variáveis.
 
2) há também um algoritmo para resolver equações do 4o. grau. E um dos passos é resolver uma equação do 3o. grau.
O livro do JP deve falar disso.
 
[ ]'s
Lu'is
-----Mensagem Original-----
Enviada em: Quinta-feira, 12 de Abril de 2001 14:32
Assunto: Re: Algoritmo de equacao

Isto eh o metodo conhecido como de Cardano (embora a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro Resolucao de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ. Santa Ursula.
So alguns detalhes:
 
a) No passo 2, eh q, e nao -q.
 
b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz "encontramos raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou complexos? Se for nos complexos, seria necessario esclarecer qual das 3 raizes cubicas se escolherah. Isto pode dar problema no passo 6, e voce achar "raizes estranhas". Se voce so aceitar trabalhar nos reais, nao conseguirah resolver equacoes simples, que so tem raizes reais.
O melhor eh substituir os passos 3 a 6 por:
3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da equacao acima.
4) Encontre uma raiz cubica z de y1 (isto eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)
5) Temos x1=z-p/(3z)
 
c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente. Chamando u = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. (Observe que w^2=1/w = conjugado de w)
 
d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1) foram responsaveis, historicamente, pela introducao do tema "permutacoes" na resolucao de equacoes algebricas, e acabaram dando na Teoria de Galois (1830), que explica quando uma equacao pode ser resolvida por uma "formula", em termos das propriedades dos "grupos" de permutacoes das suas raizes.
 
JP
----- Original Message -----
To: OBM
Sent: Thursday, April 12, 2001 11:55 AM
Subject: Algoritmo de equacao

Por uma obra "do acaso", "descobri" (sem saber q já existia) um algoritmo que calcula as raízes de uma equacao do tipo:
 
ax^3 + bx + c = 0
 
Chamamos tais raízes de x1, x2 e x3
 
1) Dividimos a equacao por a :   x^3 + px + q = 0
2) Montamos uma nova equacao em y tal que:   y^2 - qy - (p^3)/27 = 0
3) Encontramos as raízes y1 e y2 da equacao acima
4) Encontramos raíz cúbica de y1, chamando esta de k1
5) Encontramos raíz cúbica de y2, chamando esta de k2
6) Temos: x1 = k1 + k2
7) Dividimos  (x^3 + px + q)/(x - x1), encontrando: x^2 + (x1)x + p + (x1)^2
8) As raízes desta equacao sao x2 e x3
9) x2 = (-x1 + sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
10) x3 = (-x1 - sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
 
Posso ter vacilado em alguma conta, por favor avisem...
 
[]'s
 
Alexandre Terezan