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RES: Geometria plana



 
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Alex Vieira
Enviada em: Quarta-feira, 11 de Abril de 2001 18:30
Para: OBM
Assunto: Geometria plana

Ola meus amigos,
 
Sera que alguem poderia me dar uma luz neste exercicio de geometria (ver fig. gif em anexo), onde se quer descobrir o angulo x, sabendo-se que o triangulo ABC eh isoceles?
 
 
Um abraço,
 

 Alex.
Olá caro Alex.
    
Alex, é necessário dar o ângulo  do triângulo isósceles ABC. Bem, podemos dizer que o ângulo  é o(  e tentar encontrar
a medida de x em termos de o(  (alfa). Fica um bocado difícil.
Tradicionalmente nesse problema o ângulo  é dado como medindo 20º .
    
Nesse caso faça o seguinte: nomeie,primeiro, as incidências (em sua figura)- D sobre AC e E sobre AB.
    
Agora.........tome um ponto F sobre AB de modo que BCF tenha por medida 20º.
Examine o triângulo CFD, ele é equilátero! (O triângulo BCD é isósceles)
O triângulo DFC é isósceles e, o triângulo, EFC é isósceles (os ângulos nos vértices E e C medem 40º.
Tudo isso faz o triângulo EDF isósceles também com base ED .
Aí fica fácil. Na versão original desse problema pede-se o ângulo DEC (30º).
O ângulo ADC mede 50º.
   
Há uma outra solução que parece estar ligada a origem desse problema.
Desenhe um polígono regular de 18 lados.Nomeie os vértices A(1),A(2), etc. anti-horário.Seja O o centro do círculo
circunscrito.Trace as diagonais A(1)A(7) e A(3)A(15). Essas duas diagonais cortam-se sobre o lado OA(2) do
triângulo isósceles 0A(1)A(2). Ainda, a diagonal A(3)A(15) corta o raio oA(1) em um ponto E. Bem, aí fica fácil.
É claro que é necessário provar a concorrência das duas diagonais sobre o raio OA(2).
Parece que foi assim que esse problema foi "inventado".
 
Espero que isso possa lhe ajudar.
Saudações.
Claudio.