1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível
por ab, mostre que a=b.
Comentários: Melhorando
idéias
a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 -
2ab
Veja:
1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese),
então, ab deverá dividir ( a + b ) ^2 .
2. Se a for par e b for ímpar então ab é
par e ( a + b ) ^2 é ímpar ( absurdo: par não divide
ímpar)
3. Se a for ímpar e b for par
(análogo)
4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo:
ímpar não divide par)
Então, só resta a possibilidade (ambos
são pares).
Veja:
Se a e b forem pares, então, a é da forma
2m e b é da forma 2n.
Temos, agora:
[2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2]
implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica
[m/n + n/m + 2] é
inteiro.
A última sentença só ocorre
quando m = n (evidente).
Portanto, podemos concluir
a = b .
Valeu!!!!!!!!!!!!!!!!