Re: apreciação

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

Olá,

Olha o que eu acho.
Seja (a,b)=g, e a=gA, e b=gB
(a^2 + b^2)/ab = (A^2 + B^2)/AB

Agora basta ver o que ocorre para (A,B)=1. Mas veja que
- se (A,B)=1 então (A+B,B)=(A+B,A)=1
- se (A+B,B)=(A+B,A)=1 então (A+B,AB)=1
- se (A+B,AB)=1 então ((A+B)^2,AB)=1
Logo (A+B)^2/AB é inteiro somente se AB=1, portanto A=1 e B=1, logo a=b=g.

Tudo certo?

Obrigado!

Eduardo Casagrande Stabel.


>From: "José Paulo Carneiro" <jpcarneiro@openlink.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: apreciação
>Date: Thu, 6 Jul 2000 21:13:14 -0300
>
>
>-----Mensagem original-----
>De: Filho <plutao@secrel.com.br>
>Para: discussão de problemas <obm-rj@mat.puc-rio.br>
>Data: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:50
>Assunto: apreciação
>
>
>1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre 
>que a=b.
>
>     Comentários: Melhorando idéias
>     a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2  - 2ab
>
>     Veja:
>     1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir  ( a 
>+ b ) ^2  .
>     2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e  ( a + b ) ^2  é ímpar 
>( absurdo: par não divide ímpar)
>     3. Se a for ímpar e b for par (análogo)
>     4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par)
>     Então, só resta a possibilidade (ambos são pares).
>
>     Veja:
>     Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n.
>     Temos, agora:
>
>     [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2]  implica [4mn divide  4m^2 + 4n^2 + 8mn] 
>implica
>
>     [m/n + n/m + 2] é inteiro.
>
>     A última sentença só ocorre quando m = n (evidente).
>
>== Sem querer ser chato: m/n+n/m+2 eh inteiro se e so se 
>m/n+n/m=(m^2+n^2)/(mn)
>eh inteiro, ou seja, se e so se mn divide m^2+n^2.
>Voce disse que eh evidente que isto so ocorre quando m=n.
>Mas isto eh exatamente o problema inicial, com m e n no lugar de a e b. E 
>agora?
>JP
>
>     Portanto, podemos concluir a = b .
>
>
>      Valeu!!!!!!!!!!!!!!!!
>
>
>
>

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