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-----Mensagem original-----
De: Filho <plutao@secrel.com.br> Para: discussão de problemas <obm-rj@mat.puc-rio.br> Data: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:50 Assunto: apreciação 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é
divisível por ab, mostre que a=b.
Comentários: Melhorando
idéias
a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 -
2ab
Veja:
1. Como ab divide a ^2 + b^2
(hipótese), então, ab deverá dividir ( a + b )
^2 .
2. Se a for par e b for ímpar
então ab é par e ( a + b ) ^2 é ímpar (
absurdo: par não divide ímpar)
3. Se a for ímpar e b for par
(análogo)
4. Se a for ímpar e b for
ímpar (absurdo: ímpar não divide par)
Então, só resta a
possibilidade (ambos são pares).
Veja:
Se a e b forem pares, então, a
é da forma 2m e b é da forma 2n.
Temos, agora:
[2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica
[4mn divide 4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica
[m/n + n/m + 2] é
inteiro.
A última
sentença só ocorre quando m = n (evidente).
== Sem querer ser chato: m/n+n/m+2 eh
inteiro se e so se m/n+n/m=(m^2+n^2)/(mn)
eh
inteiro, ou seja, se e so se mn divide m^2+n^2.
Voce disse que eh evidente que isto so ocorre
quando m=n.
Mas isto eh exatamente o problema inicial, com m e
n no lugar de a e b. E agora?
JP
Portanto, podemos concluir a
= b .
Valeu!!!!!!!!!!!!!!!!
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