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apreciação



1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre que a=b.
 
    Comentários: Melhorando idéias
    a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2  - 2ab
   
    Veja:
    1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir  ( a + b ) ^2  .
    2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e  ( a + b ) ^2  é ímpar ( absurdo: par não divide ímpar)
    3. Se a for ímpar e b for par (análogo)
    4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par)
    Então, só resta a possibilidade (ambos são pares).
   
    Veja:
    Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n.
    Temos, agora:
   
    [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2]  implica [4mn divide  4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica 
    
    [m/n + n/m + 2] é inteiro.
 
    A última sentença só ocorre quando m = n (evidente).
 
    Portanto, podemos concluir a = b .
 
   
     Valeu!!!!!!!!!!!!!!!!