Re: apreciação

["Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Acho que podemos demonstrar de uma forma mais primitiva.
Vejamos:

Demostração:

a^2 divide ab se e só se a divide b, temos também,
b^2 divide ab se e só se b divide a.

logo:   a^2 = abq1 => a=bq1, ou seja a/b E N;
            b 2 = abq2 => b=aq2, ou seja b/a E N;

Sabendo que podemos ter apenas três opções, a>b, b>a ou a=b, temos que a
única forma de ocorrer as duas divisões é a=b.

Assim,

somando as duas equações apresentadas:

a^2 +b^2 = ab(q1+q2);
Sendo q1 e q2 inteiros então q1+q2 é inteiro, suponhamos um inteiro R.

Então: a^2 + b^2 = abR => a^2+b^2/ab E N se e só se a=b

E N significa pertence ao conjunto dos Naturais.


Ats,
Marcos Eike




----- Original Message -----
From: Filho
To: discussão de problemas
Sent: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:44
Subject: apreciação


1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre
que a=b.

    Comentários: Melhorando idéias
    a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2  - 2ab

    Veja:
    1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir  ( a +
b ) ^2  .
    2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e  ( a + b ) ^2  é ímpar
 absurdo: par não divide ímpar)
    3. Se a for ímpar e b for par (análogo)
    4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par)
    Então, só resta a possibilidade (ambos são pares).

    Veja:
    Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n.
    Temos, agora:

    [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2]  implica [4mn divide  4m^2 + 4n^2 + 8mn]
implica

    [m/n + n/m + 2] é inteiro.

    A última sentença só ocorre quando m = n (evidente).

    Portanto, podemos concluir a = b .


     Valeu!!!!!!!!!!!!!!!!