Numero Transcendente

["Iolanda Brazão" <iolanda_marta@xxxxxxxxxxx>]

Oi Pessoal,

Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se chegou a resultado 
algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como provar que 
(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando raiz_2(N) = raiz 
quadrada de N ].

Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele diz que em A^B se:

1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1
2) B e irracional

entao: A^B e trancendente ?

Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade entao em 
(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E portanto satisfazem as 
condicoes do Teorema de Gelfond. E portando

(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional.

Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr pode dizer se estou 
certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!!

Iolanda

>From: "Paulo Santa Rita" <psr@zipmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Problema de Geometria
>Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400
>
>Ola Pessoal,
>Saudacoes a Todos !
>
>A desigualdade em foco decorre diretamente da DESIGUALDADE
>TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM QUALQUER
>TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS DOIS.
>Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um trangulo
>qualquer. Entao:
>
>a < b+c => a + (b+c) < b+c + (b+c) => a+b+c < 2*(b+c)
>1/(a+b+c) > 1/(2*(b+c)) => a/(a+b+c) > a/(2*(b+c))
>
>Usando um raciocinio identido, porem partindo de :
>
>b < a+c, chegaremos a ...   b/(a+b+c) > b/(2*(a+c))
>
>c < a+b, chegaremos a ...   c/(a+b+c) > c/(2*(a+b))
>
>Somando estas tres desigualdades, ficara :
>
>1 > (1/2)*( a/(b+c) +  b/(a+c)  +  c/(a+b) )
>
>ou :  a/(b+c) +  b/(a+c)  +  c/(a+b) < 2
>
>Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao
>
>a/(b+c) +  b/(a+c)  +  c/(a+b)
>
>Nao possui somente o limitante superior, tal como acabamos
>de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior,
>decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um
>triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais
>positivos. Afirmamos que :
>
>a/(b+c) +  b/(a+c)  +  c/(a+b) >= 3/2
>
>Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos. Assim,
>temos :
>
>3/2 =< a/(b+c) +  b/(a+c)  +  c/(a+b) < 2
>
>A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de
>demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como
>Exercicio.
>
>a todos,
>Os Melhores Votos
>de Paz Profunda !
>
>Paulo Santa Rita
>4,0927,05042000
>
>
>
>
>On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200
>"Marcio" <mcohen@iis.com.br> wrote:
> >       Como resolver?
> >
> >        Sejam a,b,c lados de um triangulo.
> >
> >            Prove que     [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] <
> >2
> >
> >    Abraços,
> >    Marcio
> >
>
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