Re: ajuda

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 28 Jun 2000, José Paulo Carneiro wrote:

> Este problema estah resolvido por numeros complexos,
> no meu livro Resolucao de Equacoes Algebricas.
> Jose Paulo
> 
> 
> Seja A1A2A3...An um polígono regular convexo inscrito no círculo de raio unitário. Provar que:
> (A1A2).(A1A3).(A1A4)...(A1An)=n
>  
>  
> Observação:
> (A1An): representa a medida do segmento de extremidades A1 e A2
> 

Talvez esta seja a mesma solução do JP,
mas acho que vale a pena apresentar assim mesmo.

Suponha sem perda de generalidade que, no plano complexo,
A1 = 1, A2 = z, A3 = z^2, .., Ak = z^(k-1), ...
onde z = exp(2 Pi i/n) é uma raiz n-ésima da unidade.

O polinômio mônico de raízes A1, ..., An é claramente
X^n - 1 = (X - 1)(X^(n-1) + X^(n-2) + ... + X + 1),
donde o polinômio mônico de raízes A2, A3, ..., An é
X^(n+1) + X^(n-2) + ... + X + 1 = (X - z)(X - z^2)...(X - z^(n-1)).
Assim, 
(1 - z)(1 - z^2)...(1 - z^(n-1)) = 1^(n-1) + 1^(n-2) + ... + 1 + 1 = n.
O resultado que você pede é apenas que o módulo do lado esquerdo é n.


Como exercício: quanto vale (A1A2) + (A1A3) + ... + (A1An) ?


[]s, N.