Equa��es (alg�bricas, diferenciais) que podem ser resolvidas explicitamente
t�m sempre algo de elementar ou de surpreendente.
O l�tice de Toda � um sistema de equa��es diferenciais n�o lineares para
o qual existe uma solu��o bastante expl�cita,
que ali�s n�o � elementar.
Na verdade, existem v�rias muta��es do l�tice de Toda,
das quais consideramos duas nesse texto: o caso aberto e o caso peri�dico.
O caso aberto � mais simples em v�rios sentidos.
Sua resolu��o n�o faz uso de objetos de dimens�o infinita
(ou transcendentes), necess�rios no caso peri�dico.
Os dois casos s�o representativos de uma situa��o freqüente:
as equa��es s�o enganadoramente dif�ceis
porque descrevem a evolu��o de proje��es (n�o lineares)
de objetos que, por sua vez, evoluem de forma simples.
Para o l�tice de Toda, essas proje��es s�o descritas em termos
de uma fatora��o matricial.
No caso aberto, as matrizes est�o em
.
No caso peri�dico, o grupo de interesse -- um grupo de la�os,
--
� de dimens�o infinita, com muitas propriedades comuns
com grupos de Lie de dimens�o finita. A analogia entre opera��es
familiares em
e suas contrapartidas infinitas � um dos
temas da teoria dos grupos de la�os.
Uma excelente refer�ncia � [PS].