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O l�tice de Toda peri�dico

Equa��es (alg�bricas, diferenciais) que podem ser resolvidas explicitamente t�m sempre algo de elementar ou de surpreendente. O l�tice de Toda � um sistema de equa��es diferenciais n�o lineares para o qual existe uma solu��o bastante expl�cita, que ali�s n�o � elementar. Na verdade, existem v�rias muta��es do l�tice de Toda, das quais consideramos duas nesse texto: o caso aberto e o caso peri�dico. O caso aberto � mais simples em v�rios sentidos. Sua resolu��o n�o faz uso de objetos de dimens�o infinita (ou transcendentes), necess�rios no caso peri�dico. Os dois casos s�o representativos de uma situa��o freqüente: as equa��es s�o enganadoramente dif�ceis porque descrevem a evolu��o de proje��es (n�o lineares) de objetos que, por sua vez, evoluem de forma simples. Para o l�tice de Toda, essas proje��es s�o descritas em termos de uma fatora��o matricial. No caso aberto, as matrizes est�o em $GL(n,{\mathbb{R} })$. No caso peri�dico, o grupo de interesse -- um grupo de la�os, ${{\cal{L}}G}= {\cal{L}}GL(n,{\mathbb{C} })$ -- � de dimens�o infinita, com muitas propriedades comuns com grupos de Lie de dimens�o finita. A analogia entre opera��es familiares em $GL(n,{\mathbb{R} })$ e suas contrapartidas infinitas � um dos temas da teoria dos grupos de la�os. Uma excelente refer�ncia � [PS].



 
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Nicolau C. Saldanha
1999-08-10