O l�tice de Toda � um modelo matem�tico de propaga��o
de ondas num cristal unidimensional ([T]).
Sem mais delongas, considere a
hamiltoniana H(x,y) para
dada por
Os argumentos f�sicos habituais fornecem duas leis de
conserva��o para o sistema: a pr�pria hamiltoniana (energia) e
o momento linear (que corresponde � velocidade do
centro de massa do sistema). O primeiro fato milagroso associado
� din�mica desse sistema, descoberto por Flaschka ([F]), �
que � poss�vel descrever de forma simples n leis de conserva��o,
tanto para o caso aberto quanto para o caso peri�dico --
isso se faz em dois passos.
No caso aberto, comece mudando de vari�veis,
para obter
Perdemos um grau de liberdade no processo: 2n vari�veis (xk,yk)viraram 2n-1 vari�veis (ak,bk).
O grau que falta � justamente a conserva��o do momento linear:
os detalhes que mostram que nada se perdeu no estudo da din�mica
podem ser encontrados em [To].
Agora, considere as matrizes tridiagonais
No caso peri�dico, altera��es m�nimas do argumento acima
transformam a evolu��o de (x,y) na equa��o
As evolu��es matriciais t�m uma forma especial: L e Mevoluem de acordo com pares de Lax ([L]), e disso segue imediatamente que os autovalores de L e M n�o mudam no tempo, como veremos mais adiante -- esse fato, descoberto poucos anos antes, orientou Flaschka na reformula��o das evolu��es em (x,y). Ali�s, a conserva��o de momento e de energia correspondem � conserva��o do tra�o e da soma dos quadrados dos autovalores de L (ou M) (mais detalhes em [To]).