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As equa��es

O l�tice de Toda � um modelo matem�tico de propaga��o de ondas num cristal unidimensional ([T]). Sem mais delongas, considere a hamiltoniana H(x,y) para $(x,y) \in {\mathbb{R} }^{2n}$ dada por

$\begin{displaymath}H(x,y) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n y_k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} \exp(x_k - x_{k+1}) + P \exp(x_n - x_1),\end{displaymath}$

onde x_k e y_k s�o respectivamente a posi��o e a velocidade da k-�sima part�cula. A constante Ppode ser 0 ou 1: quando P � zero, estamos tratando do l�tice aberto, e quando P � 1, do l�tice peri�dico. A nomenclatura indica se as part�culas 1 e n est�o interagindo ou n�o. As n part�culas est�o em ${\mathbb{R} }$ , t�m todas a mesma massa e ocasionalmente ultrapassam-se umas �s outras. De forma mais expl�cita, estamos considerando as equa��es
$\begin{align}\dot{x_k} &= H_{y_k} = y_k, \quad k=1,\ldots, n,\notag\\ \dot{y_1... ...ot{y_n} &=-H_{x_n} = \exp(x_{n-1} - x_n) - P \exp(x_n - x_1), \notag \end{align}$
onde $\dot{f}$ � a derivada no tempo da fun��o f.

Os argumentos f�sicos habituais fornecem duas leis de conserva��o para o sistema: a pr�pria hamiltoniana (energia) e o momento linear (que corresponde � velocidade do centro de massa do sistema). O primeiro fato milagroso associado � din�mica desse sistema, descoberto por Flaschka ([F]), � que � poss�vel descrever de forma simples n leis de conserva��o, tanto para o caso aberto quanto para o caso peri�dico -- isso se faz em dois passos. No caso aberto, comece mudando de vari�veis,
$\begin{align}a_k &= -y_k/2, \quad k=1,\ldots,n \notag\\ 2 b_k &= \exp[(x_k -x_{k+1})/2],\quad k = 1,\ldots,n-1, \notag \end{align}$
para obter
$\begin{align}\dot{a_1} &= 2b_1^2,\notag\\ \dot{a_k} &= 2(b_k^2 - b_{k-1}^2), \... ...tag\\ \dot{b_k} &= b_k(a_{k+1} - a_k), \quad k=1,\ldots,n-1.\notag \end{align}$
Perdemos um grau de liberdade no processo: 2n vari�veis (x_k,y_k)viraram 2n-1 vari�veis (a_k,b_k). O grau que falta � justamente a conserva��o do momento linear: os detalhes que mostram que nada se perdeu no estudo da din�mica podem ser encontrados em [To]. Agora, considere as matrizes tridiagonais

$\begin{displaymath}L = \begin{pmatrix}a_1 & b_1 & 0 & \ldots \\ b_1 & a_2 & b_... ...ts&\ldots&-b_{n-1}\\ \ldots&\ldots&b_{n-1}& 0 \end{pmatrix}. \end{displaymath}$

Uma conta mostra que as equa��es de evolu��o das vari�veis a_k e b_k correspondem � evolu��o matricial

$\begin{displaymath}\dot{L} = [L,B] = LB - BL.\end{displaymath}$

No caso peri�dico, altera��es m�nimas do argumento acima transformam a evolu��o de (x,y) na equa��o

$\begin{displaymath}\dot{M} = [M,C] = MC - CM, \end{displaymath}$

onde M e C s�o matrizes tridiagonais peri�dicas,

$\begin{displaymath}M = \begin{pmatrix}a_1 & b_1 & 0 & \ldots & b_n \\ b_1 & a_... ...ts&\ldots&-b_{n-1}\\ -b_n&0&\ldots&b_{n-1}& 0 \end{pmatrix}. \end{displaymath}$

Note que a diferen�a entre L e M, assim como entre B e C, est� nas posi��es (1,n) e (n,1) das matrizes, que apropriadamente vinculam as part�culas 1 e n.

As evolu��es matriciais t�m uma forma especial: L e Mevoluem de acordo com pares de Lax ([L]), e disso segue imediatamente que os autovalores de L e M n�o mudam no tempo, como veremos mais adiante -- esse fato, descoberto poucos anos antes, orientou Flaschka na reformula��o das evolu��es em (x,y). Ali�s, a conserva��o de momento e de energia correspondem � conserva��o do tra�o e da soma dos quadrados dos autovalores de L (ou M) (mais detalhes em [To]).

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Nicolau C. Saldanha
1999-08-10