O caso aberto

Teorema: A solução da equação $\dot{L} = [L,B],\ \ L(0)=L_0,$ é dada por

L(t) = [Q(t)]^T L₀ Q(t),

onde Q(t) é obtida pela fatoração

$$\exp(t L_0) = Q(t) R(t),$$

em que a matriz Q(t) é ortogonal e R(t) é triangular superior com diagonal positiva.

Esse procedimento se encontra em [S] e [STS].

Demonstração: Derivando as duas equações, obtemos
$$\begin{align}\dot{L}(t) &= [\dot{Q(t)}]^T L_0 Q(t) + [Q(t)]^T L_0 \dot{Q(t)},\notag\\ L_0 \exp(tL_0) &= \dot{Q}(t)R(t) + Q(t)\dot{R}(t),\notag \end{align}$$
das quais segue que
$$\begin{align}\dot{L}(t) &= L(t) [Q(t)]^T\dot{Q}(t) + [\dot{Q}(t)]^T Q(t)L(t),\notag\\ L(t) &= [Q(t)]^T \dot{Q}(t) + \dot{R}(t)[R(t)]^{-1}. \notag \end{align}$$
Como Q(t) é uma curva de matrizes ortogonais, as matrizes tangentes $[Q(t)]^T\dot{Q}(t)$ são anti-simétricas. Como R(t) é uma curva de matrizes triangulares superiores, $\dot{R}(t)[R(t)]^{-1}$ também o são. Assim, a segunda equação descreve uma decomposição de L(t) numa soma de matrizes anti-simétrica e triangular superior. Isso se realiza de maneira única para uma matriz arbitrária A. Escreva A = A_- + A₀ + A₊, onde A_- é triangular inferior, A₀ é diagonal e A₊ é triangular superior. Então

$$A = \Pi_{anti} A + \Pi_{sup} A = (A_- - (A_-)^T) + (A_0 + A_+ + (A_-)^T).$$

No caso de L(t),

$$\Pi_{anti} L(t) = [Q(t)]^T \dot{Q}(t), \quad \Pi_{sup} L(t) =\dot{R}(t)[R(t)]^{-1}.$$

Agora, note que $\Pi_{anti} L(t) = B(t)$. Assim, mostramos que $\dot{L}(t) = L(t) B(t) - B(t) L(t).$         $\blacksquare$

A existência de uma fatoração $\exp{tL_0} = Q(t)R(t)$ com as propriedades exigidas para Q e R é fácil de justificar: Q é obtida aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt às colunas de $\exp{tL_0}$. O método não encontra obstruções porque $\exp{tL_0}$ é inversível. Unicidade também não é difícil: suponha QR = Q_oR_o. Então (Q_o)^-1Q = R_oR^-1,já que as quatro matrizes são inversíveis. Mas dessa equação aprendemos que os dois lados são matrizes ortogonais, triangulares superiores, com diagonais positivas: não restam muitas -- (Q_o)^-1Q = R_oR^-1 = I.

A solução explícita deixa claro que os autovalores de L(t)são leis de conservação. Entretanto a preservação da forma tridiagonal de L(t) não se vê diretamente da fórmula. O leitor pode encontrar uma outra solução explícita, bifurcando no momento adequado das contas acima, na qual L(t) é descrita como uma conjugação de L₀ por uma matriz traingular superior -- por essa expressão, a forma tridiagonal de L(t) é obviamente mantida, mas não a simetria. Existem muitas outras equações que são resolvidas por esse processo. De maneira mais geral, considere, para matrizes simétricas arbitrárias S e um polinômio p(x) fixo, a equação

$$\dot{S} = [S,\Pi_{anti}(p(S))], \quad S(0) =S_0.$$

Sua solução é S = Q^T S₀ Q, onde Q = Q(t) é obtida pela fatoração $\exp(tp(S_0)) = QR.$ A verificação dessa afirmação é idêntica à feita para o caso anterior, em que p(x) = xe a condição inicial era tomada tridiagonal, por razões estritamente físicas. O caso $p(x) = \log(x)$ é especialmente interessante pelas suas relações com análise numérica ([DLT]) -- como o fluxo preserva autovalores, ao longo de sua órbita a matriz $\log(S(t))$ coincide com um polinômio fixo p(S(t)).

Mais, todos esses fluxos comutam entre si, indicação de outra estrutura que não vamos considerar: essas equações são induzidas por hamiltonianas comutando entre si para uma escolha adequada de espaço de fase. Matrizes tridiagonais com traço constante podem ser descritas como órbitas coadjuntas (e, como tais, variedades simpléticas) associadas à ação do grupo triangular sobre si mesmo. Em particular, isso fornece uma razão geométrica para a invariância da forma tridiagonal na evolução.

Existe uma equação análoga para matrizes arbitrárias ([DLT1]), para a qual existe também uma solução explícita e uma interpretação como sistema completamente integrável (pelo menos para condições iniciais genéricas). Um último fato muito interessante associado à equação original é a convergência de L(t) a uma matriz diagonal quando $t \to \pm \infty$, demonstrada por Moser [M].