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O caso aberto

Teorema: A solu��o da equa��o $\dot{L} = [L,B],\ \ L(0)=L_0,$ � dada por

L(t) = [Q(t)]^T L₀ Q(t),

onde Q(t) � obtida pela fatora��o

$\begin{displaymath}\exp(t L_0) = Q(t) R(t), \end{displaymath}$

em que a matriz Q(t) � ortogonal e R(t) � triangular superior com diagonal positiva.

Esse procedimento se encontra em [S] e [STS].

Demonstra��o: Derivando as duas equa��es, obtemos
$\begin{align}\dot{L}(t) &= [\dot{Q(t)}]^T L_0 Q(t) + [Q(t)]^T L_0 \dot{Q(t)},\notag\\ L_0 \exp(tL_0) &= \dot{Q}(t)R(t) + Q(t)\dot{R}(t),\notag \end{align}$
das quais segue que
$\begin{align}\dot{L}(t) &= L(t) [Q(t)]^T\dot{Q}(t) + [\dot{Q}(t)]^T Q(t)L(t),\notag\\ L(t) &= [Q(t)]^T \dot{Q}(t) + \dot{R}(t)[R(t)]^{-1}. \notag \end{align}$
Como Q(t) � uma curva de matrizes ortogonais, as matrizes tangentes $[Q(t)]^T\dot{Q}(t)$ s�o anti-sim�tricas. Como R(t) � uma curva de matrizes triangulares superiores, $\dot{R}(t)[R(t)]^{-1}$ tamb�m o s�o. Assim, a segunda equa��o descreve uma decomposi��o de L(t) numa soma de matrizes anti-sim�trica e triangular superior. Isso se realiza de maneira �nica para uma matriz arbitr�ria A. Escreva A = A_- + A₀ + A₊, onde A_- � triangular inferior, A₀ � diagonal e A₊ � triangular superior. Ent�o

$\begin{displaymath}A = \Pi_{anti} A + \Pi_{sup} A = (A_- - (A_-)^T) + (A_0 + A_+ + (A_-)^T).\end{displaymath}$

No caso de L(t),

$\begin{displaymath}\Pi_{anti} L(t) = [Q(t)]^T \dot{Q}(t), \quad \Pi_{sup} L(t) =\dot{R}(t)[R(t)]^{-1}.\end{displaymath}$

Agora, note que $\Pi_{anti} L(t) = B(t)$ . Assim, mostramos que $\dot{L}(t) = L(t) B(t) - B(t) L(t).$ $\blacksquare$

A exist�ncia de uma fatora��o $\exp{tL_0} = Q(t)R(t)$ com as propriedades exigidas para Q e R � f�cil de justificar: Q � obtida aplicando o m�todo de ortogonaliza��o de Gram-Schmidt �s colunas de $\exp{tL_0}$ . O m�todo n�o encontra obstru��es porque $\exp{tL_0}$ � invers�vel. Unicidade tamb�m n�o � dif�cil: suponha QR = Q_oR_o. Ent�o (Q_o)^-1Q = R_oR^-1,j� que as quatro matrizes s�o invers�veis. Mas dessa equa��o aprendemos que os dois lados s�o matrizes ortogonais, triangulares superiores, com diagonais positivas: n�o restam muitas -- (Q_o)^-1Q = R_oR^-1 = I.

A solu��o expl�cita deixa claro que os autovalores de L(t)s�o leis de conserva��o. Entretanto a preserva��o da forma tridiagonal de L(t) n�o se v� diretamente da f�rmula. O leitor pode encontrar uma outra solu��o expl�cita, bifurcando no momento adequado das contas acima, na qual L(t) � descrita como uma conjuga��o de L₀ por uma matriz traingular superior -- por essa express�o, a forma tridiagonal de L(t) � obviamente mantida, mas n�o a simetria. Existem muitas outras equa��es que s�o resolvidas por esse processo. De maneira mais geral, considere, para matrizes sim�tricas arbitr�rias S e um polin�mio p(x) fixo, a equa��o

$\begin{displaymath}\dot{S} = [S,\Pi_{anti}(p(S))], \quad S(0) =S_0.\end{displaymath}$

Sua solu��o � S = Q^T S₀ Q, onde Q = Q(t) � obtida pela fatora��o $\exp(tp(S_0)) = QR.$ A verifica��o dessa afirma��o � id�ntica � feita para o caso anterior, em que p(x) = xe a condi��o inicial era tomada tridiagonal, por raz�es estritamente f�sicas. O caso $p(x) = \log(x)$ � especialmente interessante pelas suas rela��es com an�lise num�rica ([DLT]) -- como o fluxo preserva autovalores, ao longo de sua �rbita a matriz $\log(S(t))$ coincide com um polin�mio fixo p(S(t)).

Mais, todos esses fluxos comutam entre si, indica��o de outra estrutura que n�o vamos considerar: essas equa��es s�o induzidas por hamiltonianas comutando entre si para uma escolha adequada de espa�o de fase. Matrizes tridiagonais com tra�o constante podem ser descritas como �rbitas coadjuntas (e, como tais, variedades simpl�ticas) associadas � a��o do grupo triangular sobre si mesmo. Em particular, isso fornece uma raz�o geom�trica para a invari�ncia da forma tridiagonal na evolu��o.

Existe uma equa��o an�loga para matrizes arbitr�rias ([DLT1]), para a qual existe tamb�m uma solu��o expl�cita e uma interpreta��o como sistema completamente integr�vel (pelo menos para condi��es iniciais gen�ricas). Um �ltimo fato muito interessante associado � equa��o original � a converg�ncia de L(t) a uma matriz diagonal quando $t \to \pm \infty$ , demonstrada por Moser [M].

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Nicolau C. Saldanha
1999-08-10