Teorema:
A solu��o da equa��o
� dada por
Esse procedimento se encontra em [S] e [STS].
Demonstra��o:
Derivando as duas equa��es, obtemos
das quais segue que
Como Q(t) � uma curva de matrizes ortogonais, as matrizes
tangentes
s�o
anti-sim�tricas.
Como R(t) � uma curva de matrizes triangulares superiores,
tamb�m o s�o. Assim, a segunda equa��o
descreve uma decomposi��o de L(t) numa soma de matrizes
anti-sim�trica e triangular superior. Isso se realiza
de maneira �nica para uma matriz arbitr�ria A. Escreva
A = A- + A0 + A+, onde A- � triangular inferior, A0 �
diagonal e A+ � triangular superior. Ent�o
A exist�ncia de uma fatora��o
com as
propriedades exigidas para Q e R � f�cil de justificar:
Q � obtida aplicando o m�todo de ortogonaliza��o de Gram-Schmidt
�s colunas de
.
O m�todo n�o encontra obstru��es
porque
� invers�vel.
Unicidade tamb�m n�o � dif�cil: suponha
QR = QoRo.
Ent�o
(Qo)-1Q = RoR-1,j� que as quatro matrizes s�o invers�veis.
Mas dessa equa��o aprendemos que os dois lados s�o
matrizes ortogonais, triangulares superiores, com diagonais
positivas: n�o restam muitas --
(Qo)-1Q = RoR-1 = I.
A solu��o expl�cita deixa claro que os autovalores de L(t)s�o leis de conserva��o. Entretanto a preserva��o da forma
tridiagonal de L(t) n�o se v� diretamente da f�rmula. O leitor
pode encontrar uma outra solu��o expl�cita, bifurcando no
momento adequado das contas acima, na qual L(t) � descrita como
uma conjuga��o de L0 por uma matriz traingular superior --
por essa express�o, a forma tridiagonal de L(t) � obviamente mantida,
mas n�o a simetria.
Existem muitas outras equa��es que s�o resolvidas por esse
processo. De maneira mais geral, considere, para matrizes
sim�tricas arbitr�rias S e um polin�mio p(x) fixo, a equa��o
Mais, todos esses fluxos comutam entre si, indica��o de outra estrutura que n�o vamos considerar: essas equa��es s�o induzidas por hamiltonianas comutando entre si para uma escolha adequada de espa�o de fase. Matrizes tridiagonais com tra�o constante podem ser descritas como �rbitas coadjuntas (e, como tais, variedades simpl�ticas) associadas � a��o do grupo triangular sobre si mesmo. Em particular, isso fornece uma raz�o geom�trica para a invari�ncia da forma tridiagonal na evolu��o.
Existe uma equa��o an�loga para matrizes arbitr�rias ([DLT1]),
para a qual existe tamb�m uma solu��o expl�cita e uma
interpreta��o como sistema completamente integr�vel (pelo menos
para condi��es iniciais gen�ricas). Um �ltimo fato muito
interessante associado � equa��o original � a converg�ncia
de L(t) a uma matriz diagonal quando
,
demonstrada
por Moser [M].