Re: D�zima ou n�o-d�zima7XppbWE=

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 20 May 1999, Carlos Nehab wrote:

> Ai, meu Deus,
> 
> >desculpe mandar MAIS uma mensagem, t�o r�pido, mas surgiu um problema, dos
> >bons, que n�o podia esperar. Em fra��o, quanto vale
> >0,999999999999999999999999999999999999999999...
> >9/9=1 e n�o 0,99999999999999999999999999999999999999999...
> 
> � raro, mas l� vou eu outra vez. E desta vez � achando b�rbara sua
> dificuldade (s�rio).

Acho que apesar do assunto ser muito elementar e apesar de j� termos
v�rias respostas eu ainda quero acrescentar alguma coisa...

Antes de mais nada acho que convem tornar mais clara a natureza do
problema. Os axiomas/defini��es matem�ticas n�o foram ditados como
ep�logo dos dez mandamentos, quem decide se 0,999999... ser� igual a 1
ou n�o somos n�s. Ou melhor, nem precisamos decidir, podemos perfeitamente
considerar que existem dois tipos de n�meros, e em cada tipo a coisa
funciona de uma forma. Por outro lado n�o se trata de um problema
puramente de nota��o: as propriedades dos n�meros dependem desta decis�o.
 
Mas se somos n�s quem decidimos se 1 = 0,999999...,
esta decis�o nem por isso � gratuitas: algumas decis�es s�o muito mais
interessantes do que outras. Por isso acho que uma apresenta��o mais
rigorosa (com axiomas) dificilmente deixar� quem levanta esta quest�o
(ou outras similares, como porque (-1)*(-1) = 1) realmente satisfeito.
A pergunta apenas se torna mais profunda: por que estes axiomas e n�o
outros? Uma resposta bastante autorit�ria seria: estude *este* sistema,
inventado por gente que sabe muito mais do que voc�; se algum dia voc�
chegar a ser um grande matem�tico s� ent�o voc� ser� digno de apresentar
sua contra-proposta. Menciono esta resposta apenas para elimin�-la como
pouco satisfat�ria e nada esclarecedora.

Acho que a melhor resposta talvez seja explorar um pouco o universo
paralelo onde 0.99999999.... < 1, de prefer�ncia dialogando. Dado que eu
estou escrevendo isto sozinho, comporei meu di�logo entre o professor
S�crates e o aluno Plat�o. Os dois j� leram o in�cio deste e-mail...

P: Mas o que eu n�o entendo, S., � por que 0,999999... seria igual a 1.
   Parece t�o mais natural definir 0,9999999... < 1!

S: Mas P., quanto seria a diferen�a 1 - 0.99999999...?

P: N�o sei... vamos descobrir; chamemos a diferen�a de x.
   E eu digo que x > 0!

S: Mas voc� deve concordar que x < 1/10 = 0,1.

P: Por que?

S: Por que claramente 0,9 < 0,9999..., e 0,9 + 0,1 = 1,
   donde 0,9999... + 0,1 > 1.

P: Sim, S., � verdade. Devemos ter x < 0,1.

S: E da mesma forma temos x < 0,01, x < 0,001, ...

P: Sim, S., eu j� tinha pensado nisso: x � positivo mas infinitamente
   pequeno.

S: Mas qual seria a expans�o decimal de x?

P: (depois de pensar um pouco) Talvez x n�o tenha expans�o decimal...
   ou talvez x = 0,000000....1, onde este algarismo 1 aparece em uma
   posi��o infinitamente afastada...

Bem, o aluno conseguiu manter seu ponto de vista, mas s� a um pre�o
muito alto: ele teve que admitir a exist�ncia de infinitesimais,
que talvez n�o tenham expans�o decimal ou cuja expans�o decimal teria
n�o apenas infinitos algarismos, mas tamb�m algarismos em posi��es
infinitamente distantes...

Enfim, o objetivo deve ser mostrar que dizer 1 = 0,999999999...
� de longe a op��o mais simples.

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau