Re: Resolvendo x^x^x^x...=2 -- mais limites

[Carlos Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Ralph,

A questão era exatamente para mexer com os meninos. Mas fica uma sugestão
para a Lista. Não seria útil, nas discussões, sabermos o grau de formação
do participante? 

Por exemplo, sua solução é tecnicamente perfeita, mas e se eu tivesse 16
anos de idade (e não 53...) sua argumentação não me permitiria agregar
conhecimento.  Eu não saberia o que é derivada, função convexa e muito
menos que uma seqüência limitada e não decrescente possui limite...

As discussões que eu gostaria de provocar (e parece que só o Wagner sacou)
é inserir um pouco de leveza, intuição, brincadeira.  Confesso que não fui
feliz. 

Abraço, Nehab

 o e-mail 
At 17:57 20/05/99 -0300, you wrote:
>	Uma questão essencial é: como interpretar c^c^c^c...? Usando as
>interpretações mais naturais
>
>a(0) = 1
>a(1) = c                     = c^a(1)
>a(2) = c^c                   = c^a(2)
>a(3) = c^c^c   = c^(c^c)     = c^a(3) (não (c^c)^c = c^(c^2))
>a(4) = c^c^c^c = c^(c^(c^c)) = c^a(4) (não ((c^c)^c)^c) = c^(c^3))
>...
>
>	A questão então é: para que c temos lim a(n)=2 ?
>
>********
>Você diz:
>> a) Dá para fazer sua equação recair em x^2 = 2, ou seja, x = raiz(2);
>
>Correto. Note que se a(n) é uma seqüência QUE TENHA LIMITE lim a(n) = K,
>e b uma constante positiva, então
>
>lim (b^a(n)) = b^lim(a(n)) =b^K
>
>(basicamente, a exponencial b^x é contínua)
>
>	ENTÃO, SE O LIMITE c^c^c^c... EXISTIR (=K):
>
>	lim c^a(n) = lim a(n+1) = lim a(n)
>	c^K        = K        
>	c          = K ^ (1/K)
>
>	SE O LIMITE EXISTIR E FOR 2, c=2^(1/2)=raiz(2). Isto quer dizer que
>raiz(2) é a única solução possível, mas temos de verificá-la. Em
>particular, há de se provar que o limite existe, o que não é tão simples
>assim. Neste caso, podemos fazê-lo assim:
>
>	(Defina a(n+1)=raiz(2)^a(n); a(0)=raiz(2))
>
>	i) Mostre que a(n)<2 por indução
>	De fato, a(1)=c=raiz(2)<2
>	a(n)<2 => a(n+1)=raiz(2)^a(n) < raiz(2)^2 < 2.
>
>	ii) Mostre que a(n) é crescente
>	De fato, f(x) = sqrt(2)^x-x > 0 para x < 2
>	(Use um gráfico ou cálculo; usando cálculo, note que
>f''(x) = (ln(raiz(2))^2*raiz(2)^x > 0 implica que f é convexa; como
>f(2)=f(4)=0, 2 e 4 são as únicas raízes)
>	Como a(n) < 2, temos sqrt(2)^a(n)-a(n)>0 => a(n+1)>a(n)
>
>	a(n) crescente limitada implica que há o limite.
>
>	ENTÃO escrevemos
>
>	lim a(n+1) = lim a(n) => sqrt(2)^K = K
>
>	As únicas soluções são 2 e 4. Como a(n)<2, temos K<=2. Então:
>
>	c^c^c^c^c... = 2 para c=raiz(2)
>
>
>*********
>Você também diz:
>> b) Também "dá para recair" em 2^x = 2, ou seja, x = 1...
>
>	Não. Isso só serve se você definir
>
>	a(n+1)=a(n)^c
>
>	O que é diferente do que se imagina quando se escreve c^c^c.. sem
>parenteses. Em outras palavras, isso seria correto se olhássemos para:
>
>	c
>	c^c
>	(c^c)^c = c^(c*c) = c^(c^2)
>	((c^c)^c)^c = c^(c*c*c) = c^(c^3)
>	...
>
>	Então, SE O LIMITE EXISTIR (=K>0), temos
>
>	lim a(n+1) = lim a(n)
>	K^c = K => c = 1 (a menos que K=1, então qualquer c serve)
>
>	Então c=1 é a única solução POSSÍVEL. Temos de verificá-la. Mas c=1 =>
>lim a(n) = 1, então essa equação não tem soluções.
>
>	De fato, c>1 => lim a(n) = +Infinito, isto é, a(n) cresce sem parar;
>0<c<=1 => lim a(n) = 1
>
>