Resolvendo x^x^x^x...=2 -- mais limites

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Uma questão essencial é: como interpretar c^c^c^c...? Usando as
interpretações mais naturais

a(0) = 1
a(1) = c                     = c^a(1)
a(2) = c^c                   = c^a(2)
a(3) = c^c^c   = c^(c^c)     = c^a(3) (não (c^c)^c = c^(c^2))
a(4) = c^c^c^c = c^(c^(c^c)) = c^a(4) (não ((c^c)^c)^c) = c^(c^3))
...

	A questão então é: para que c temos lim a(n)=2 ?

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Você diz:
> a) Dá para fazer sua equação recair em x^2 = 2, ou seja, x = raiz(2);

Correto. Note que se a(n) é uma seqüência QUE TENHA LIMITE lim a(n) = K,
e b uma constante positiva, então

lim (b^a(n)) = b^lim(a(n)) =b^K

(basicamente, a exponencial b^x é contínua)

	ENTÃO, SE O LIMITE c^c^c^c... EXISTIR (=K):

	lim c^a(n) = lim a(n+1) = lim a(n)
	c^K        = K        
	c          = K ^ (1/K)

	SE O LIMITE EXISTIR E FOR 2, c=2^(1/2)=raiz(2). Isto quer dizer que
raiz(2) é a única solução possível, mas temos de verificá-la. Em
particular, há de se provar que o limite existe, o que não é tão simples
assim. Neste caso, podemos fazê-lo assim:

	(Defina a(n+1)=raiz(2)^a(n); a(0)=raiz(2))

	i) Mostre que a(n)<2 por indução
	De fato, a(1)=c=raiz(2)<2
	a(n)<2 => a(n+1)=raiz(2)^a(n) < raiz(2)^2 < 2.

	ii) Mostre que a(n) é crescente
	De fato, f(x) = sqrt(2)^x-x > 0 para x < 2
	(Use um gráfico ou cálculo; usando cálculo, note que
f''(x) = (ln(raiz(2))^2*raiz(2)^x > 0 implica que f é convexa; como
f(2)=f(4)=0, 2 e 4 são as únicas raízes)
	Como a(n) < 2, temos sqrt(2)^a(n)-a(n)>0 => a(n+1)>a(n)

	a(n) crescente limitada implica que há o limite.

	ENTÃO escrevemos

	lim a(n+1) = lim a(n) => sqrt(2)^K = K

	As únicas soluções são 2 e 4. Como a(n)<2, temos K<=2. Então:

	c^c^c^c^c... = 2 para c=raiz(2)


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Você também diz:
> b) Também "dá para recair" em 2^x = 2, ou seja, x = 1...

	Não. Isso só serve se você definir

	a(n+1)=a(n)^c

	O que é diferente do que se imagina quando se escreve c^c^c.. sem
parenteses. Em outras palavras, isso seria correto se olhássemos para:

	c
	c^c
	(c^c)^c = c^(c*c) = c^(c^2)
	((c^c)^c)^c = c^(c*c*c) = c^(c^3)
	...

	Então, SE O LIMITE EXISTIR (=K>0), temos

	lim a(n+1) = lim a(n)
	K^c = K => c = 1 (a menos que K=1, então qualquer c serve)

	Então c=1 é a única solução POSSÍVEL. Temos de verificá-la. Mas c=1 =>
lim a(n) = 1, então essa equação não tem soluções.

	De fato, c>1 => lim a(n) = +Infinito, isto é, a(n) cresce sem parar;
0<c<=1 => lim a(n) = 1