Dízimas e limites: 0,999... = 1

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

PERGUNTA 1: 0,999... = 1 ??

	Sim. O que as pessoas não reconhecem é que, gostem ou não, há um
conceito de limite implícito na expressão 0,999...; NÃO HÁ COMO ESCREVER
UMA DÍZIMA E PENSAR RIGOROSAMENTE NELA SEM PENSAR EM LIMITE. Quando você
escreve algo como

	0,33333...

	o que isso significa? Há um entendimento (pelo msnos entre os
matemáticos) de que isto representa o LIMITE da seguinte seqüência:

	0,3 0,33 0,333 0,3333 0,33333 ...

	É claro que não é assim que se apresenta uma dízima aos alunos de
primeiro grau. A gente diz pros alunos "você vai botando algarismo até
não parar mais; quando botar todos, chegou no número que queremos".
Apesar de intuitivo (as pessoas conseguem lidar com dízimas), o
raciocínio não é formal. Se você preferir:

	0,333... = 3/10 + 3/10^2 + 3/10^3 + ...

	Onde a soma à direita é interpretada como o limite de uma série.

	Felizmente, essas séries podem ser operadas tal e qual fazemos com
números sem dízimas. Então é válido escrever:

        x = 0,9999.... (= 0 + 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...)
      10x = 9,9999.... (= 9 + 0,9 + 0,09 + ... porque uma série
convergente pode ser multiplicada termo a termo)

       9x = 9          (= 9 + 0 + 0 + ...; está ok porque as séries
convergem, então podemos subtrair termo a termo)

	x = 1

	De fato, encontramos o limite da série

	0,9 + 0,09 + 0,09 + ... = 1

	Por que isso *parece* tão estranho? Um dos motivos é que, quando
queremos descobrir se dois números (com um número finito de dígitos) são
iguais, é suficiente verificar se todos os algarismos correspondentes
são os mesmos. Isto é, sua cabeça faz assim:

	189,22 = 189,22 ?? (Sim, pois 1=1, 8=8, 9=9, 2=2 e 2=2)

	3426,8 = 3456,8 ?? (Hmmm... 3=3, 4=4 mas 2<5... NÃO!)

	Quando lidamos com dízimas, esse raciocínio NÃO VALE. Podemos ter duas
séries que convergem para o mesmo número cujos termos não sejam todos os
mesmos. Felizmente (ou infelizmente), com as restrições da representação
decimal, este 'problema' é raro e só acontece com números que terminam
com a dízima ..a9999... = ..(a+1)0000... Aliás, esse fato ser raro é que
faz com que ele pareça tão estranho...